lim x->1- (ln(x)*ln(x-1)) Sandwichabschätzung?

Question

Aufgabe:

lim x->1^-  (ln(x)*ln(x-1))

Problem/Ansatz:

Durch l´Hospital bin ich bereits auf

lim x->1^- ((x-1)ln²(x-1))/x)

gekommen.

Nun hätte ich an eine Sandwichabschätzung gedacht, d.h zu zeigen dass die Funktion an der Stelle x=1 stetig ergänzbar ist.

Nun weiß ich aber nicht, wie ich das abschätzen soll.

Ich hätte mit y=x-1 an folgendes gedacht:

lim x->1^- ((x-1)ln²(x-1)) = im x->1^- (yln²(y))

An der Stelle x=1 hätte ich dann ja jetzt

1*0 und das wäre ja dann 0.

Also könnte ich das ja abschätzen mit:

0≤yln²(y)≤y

stimmt das?

Vielen Dank im Voraus.

MfG

Marco

Answer 1

0≤yln^2(y)≤y  das wäre ja für y in der Nähe von 0.

Das kann wohl nicht stimmen: ~plot~ x*ln(x)^2;x ~plot~

Meine Idee wäre:    Für x gegen 1:

  (ln(x)*ln(x-1))
=   ln(x-1) / (  1 / ln(x) )   
 Typ   - ∞ / ∞  mit Hospital gibt

(1 / (x-1) )     /    ( -1 / (x*ln(x)^2)

= - x * ln(x) ^2   /   x-1   Jetzt  Typ 0 / 0

also nochmal:

= - ( ln(x) ^2 + 2ln(x) )  / 1

und für x gegen 1 geht das gegen 0.

Also Grenzwert 0 und das passt auch:

~plot~ ln(x)*ln(x-1) ~plot~

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Müsste so passen, aber hätten sie eine Idee wie eine passende Sandwichabschätzung gehen würde?

MfG

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Keine Idee für Abschätzung nach unten.