Sei f eine 2π-periodische Funktion, zeige dass die Funktion die Fourier-Koeffizienten ck(g)=e-ikack(f) hat

Question

Aufgabe:

Sei $f$ eine $2 \pi$-periodische Funktion, zeige dass die Funktion $g(x)=f(x-a)$ die Fourier-Koeffizienten $c_{k}(g)=e^{-i k a} c_{k}(f)$ hat.

Bemerkung: Es kann einfachheitshalber angenommen werden, dass die Fourierreihe von $f$ gegen $f$ konvergiert, ist aber nicht notwendig.

Ansatz:

Ich kenne die Definition der Fourierreihe als:

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos (k t)+b_{k} \sin (k t)\right)$

Wie komme ich auf die genannten Koeffizienten?

Answer 1

Hi,
wenn Du die Fourierreihe wie folgt schreibst
$$f(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ikt}$$
dann gilt für $f(t-a)$ folgendes
$$g(t)=f(t-a)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ik(t-a)}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ikt}e^{-ika}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k(f)e^{-ika}$$
Also gilt
$$c_k(g)=c_k(f)e^{-ika}$$

Comments

Aha, diese Schreibweise habe ich noch nicht gekannt,