(a) Gegeben ist das Erzeugendensystem E={[1c],[c1]}, wobei c∈R ist.
(i) Für welche Werte von c∈R ist E keine Basis des R2?
(ii) Welche Untervektorräume ergeben sich für diejenigen c∈R, für die E keine Basis des R2 ist?
(b) Aus der Vorlesung ist bekannt, dass B={1,x,x2} eine Basis des Vektorraumes F2 aller Polynome in einer Unbekannten vom Grad kleiner oder gleich 2 ist. Mit anderen Worten: Jedes Polynom p(x) dieses Vektorraumes lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basiselemente darstellen; d. h. p(x)=ax2+bx+c mit a,b,c∈R.
(i) Zeigen Sie, dass E={x2−x+2,3x−4,2x2+x} keine Basis von F2 ist.
(ii) Geben Sie für den von E erzeugten Untervektorraum von F2 eine Basis an.
(iii) Zeigen Sie, dass U={p∈F2∣p(x)=(2a+b)x2+ax+2b mit a,b∈R} ein Untervektorraum von F2 ist.