Beweisen Sie durch v. Induktion die folgende Formel für die n-te Ableitung eines Produkts.

Question

Hallo liebe Mitglieder! Ich hoffe mir kann jemand helfen und den Löungsweg aufzeigen, ich wäre Euch echt dankbar:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die n-te Ableitung eines Produkts F(x)=f(x)g(x) zweier Funktionen f(x) und g(x):

F⁽ⁿ⁾(x) = ∑ⁿ_k=0 (n über k) f^(k)(x)g^(n-k)(x).

Verankern Sie den Induktionsbeweis dabei wie üblich bei n=1.

Mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=1, k=0

F⁽¹⁾(x)=∑¹_k=0(¹₀) f⁽⁰⁾(x)g^(1-0)(x)

Induktionsschritt: n+1 soll gelten:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=∑ⁿ⁺¹_k=0(ⁿ⁺¹_k)f^(k)(x)g^(n+1-k)(x)

Weiter weiß ich leider nicht. :( Ich bitte um eine ausfühliche Erklärung, vielen lieben Dank im Voraus!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweise mittels vollständiger Induktion

Stichworte: vollständige-induktion,beweis,reihen

Aufgabe:

Beweise mittels vollständiger Induktion
Sind zwei Funktionen f und g, die den gleichen Definitionsbereich D besitzen, an einer Stelle x₀ ∈ D n-mal differenzierbar, so ist auch ihr Produkt f · g an der Stelle x₀ n-mal differenzierbar und es gilt:

Problem/Ansatz:

Kann mir das bitte einer beweisen? Weiß überhaupt nicht was ich machen soll. Vielen Dank an jede Hilfe.

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https://www.mathelounge.de/184658/beweisen-durch-induktion-folgende-formel-ableitung-produkts

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Hat jemand die selbe Frage gestellt :)

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Kann mir das bitte einer beweisen? 

Das steht außer Frage, dass das hier viele Leute können.

Weiß überhaupt nicht was ich machen soll.

Wie wäre es mit dem Induktionsanfang? Weise also für n=1 nach, dass die 1. Ableitung so aussieht, wie sie laut zu beweisender Formel aussehen soll.

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Ich würde mi n=0 anfangen.

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ullim, das ist eine fantastische Idee ;). Kommt aber immer darauf an.

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Hallo Andre

hast du den link mal angesehen, dann stell Fragen dazu, denn eigentlich steht dort alles?

lul

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Andre hat schon lange gemerkt, dass schon jemand diese Frage gestellt hatte und die Antwort dort / hier bestimmt schon studiert.

Hat jemand dieselbe Frage gestellt :)

Answer 1

F⁽ⁿ⁾(x) = ∑ⁿ_k=0 (n über k) f^(k)(x)g^(n-k)(x).

Verankern Sie den Induktionsbeweis dabei wie üblich bei n=1.

Mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=1  DAS IST DOCH eine Summe,

ein Summand für k=0 der andere für k=1  gibt dann (s.u.)

F⁽¹⁾(x)=(¹₀) f⁽⁰⁾(x)g^(1-0)(x)   +   (¹₁) f⁽¹⁾(x)g^(1-1)(x)

die 0-te Ableitung ist ja die Funktion selbst, und die erste schreibt man gemeinhin

mit dem ' also ist dasaußerdem  (¹₀) =  (¹₁)= 1

F ' (x) = 1*f(x)*g ' (x) + 1 * f ' (x) * g (x)  =  f(x)*g ' (x) + f ' (x) * g (x)

und das ist die klassische Produktregel für 2 Faktoren, also wahr.

Erst mal Induktionsvoraussetzung aufschreiben, das wäre:

Es gibt ein n mit

F⁽ⁿ⁾(x)=∑ⁿ_k=0(ⁿ_k)f^(k)(x)g^(n-k)(x)

Induktionsschritt: DANN (also unter der Vor., dass es bei n stimmt, soll gelten:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=∑ⁿ⁺¹_k=0(ⁿ⁺¹_k)f^(k)(x)g^(n+1-k)(x)

und das musst du nun zeigen:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=F^{(n) '} (x)= für F(n) kann du die Vor. einsetzen und hast

                  = (   ∑ⁿ_k=0(ⁿ_k)f^(k)(x)g^(n-k)(x)    ) '

bekanntlich kann man als Ableitung einer Summe die Ableitungen  von jeden Summanden der Summe bilden:  Da die Summanden alles Produkte von zwei Faktoren sind, muss man dabei nat. die Produktregel

für 2 Faktoren anwenden:

∑ⁿ_k=0(ⁿ_k) ( f^(k)(x) ' * g^(n-k)(x)  + f^(k)(x)*g^(n-k)(x) '  )

nun ist ( f^(k)(x) '=  ( f^(k+1)(x)  eben eine Ableitung mehr und g^(n-k)(x) ' =g^(n+1-k)(x)

Dann gibt das

∑ⁿ_k=0(   (ⁿ_k) ( f^(k+1)(x) * g^(n-k)(x)  + f^(k)(x)*g^(n+1-k)(x)   )

Dann wird in der Summe die Klammer aufgelöst und zwei Summen draus gemacht

∑ⁿ_k=0  (ⁿ_k) ( f^(k+1)(x) * g^(n-k)(x)  +     ∑ⁿ_k=0 (ⁿ_k) f^(k)(x)*g^(n+1-k)(x)  

Damit die Indizes zusammenpassen ersetzen wir im 1.Teil k+1 durch k

und haben dann die Summe nicht von 0 bis n sondern von 1 bis n+1

∑ⁿ⁺¹_k=1  (ⁿ_k-1) ( f^(k)(x) * g^(n+1-k)(x)  +     ∑ⁿ_k=0 (ⁿ_k) f^(k)(x)*g^(n+1-k)(x)  

Jetzt nehmen wir beide Summen nur von 1 bis n, schreiben also in der ersten

den Summanden für n+1 und in der 2. den Summanden für k=0 extra hin:

  (ⁿ_n) ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) * g⁽⁰⁾(x) +   ∑ⁿ_k=1  (ⁿ_k-1) ( f^(k)(x) * g^(n+1-k)(x) 

+ ∑ⁿ_k=1  (ⁿ_k) ( f^(k)(x) * g^(n+1-k)(x)  +   (ⁿ₀) ( f⁽⁰⁾(x) * g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

Jetzt kann man die beiden mittleren Summen zu einer machen:

(ⁿ_n) ( f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) * g⁽⁰⁾(x) +   ∑ⁿ_k=1 ( (ⁿ_k-1)+ (ⁿ_k) ) ( f^(k)(x) * g^(n+1-k)(x)    +   (ⁿ₀) ( f⁽⁰⁾(x) * g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

in der Mitte muss man jetzt die Formel (ⁿ_k-1)+ (ⁿ_k) = (ⁿ⁺¹_k) für die Binomialkoeffiz. anwenden

und sowas wie   (ⁿ_n)= (ⁿ⁺¹_n+1)    und  (ⁿ₀)= (ⁿ⁺¹₀)

und daa sieht man, dass dies wirklich die angepeilte Summe ist:

∑ⁿ⁺¹_k=0(ⁿ⁺¹_k)f^(k)(x)g^(n+1-k)(x)