Konvergenz, Divergenz von Reihen

Question

Ich weiß, dass die Reihe $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ s } }  } $$ divergent für s=1 ist.

Kann mir jemand dabei helfen, wie ich es beweise, dass diese Reihe für s>1 konvergiert

und für 0<s<1 divergiert?

Ich weiß dabei, dass die Reihe $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ s } }  } $$ genau dann konvergiert, wenn die Reihe $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { 2 }^{ k }\frac { 1 }{ { ({ 2 }^{ k }) }^{ s } } \quad = } \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { { (2 }^{ 1-s }) }^{ k } } $$ konvergiert

Wie kann ich das jetzt auf den Beweis anwenden?

Comments

Jemand noch eine andere Idee hierzu? Komme bisher leider nicht klar mit der Aufgabe.

Answer 1

wie "groß" ist denn \( 2^{1-s} \) für deine Eingrenzungen von s? Durch die Äquivalenzbeziehung brauchst du ja nur die Divergenz und Konvergenz der von dir angegebenen 2. Reihe zu zeigen. Erinner dich für die Konvergenz daran, dass die Folge der einzelnen Summanden eine Nullfolge sein muss. Außerdem kann man die geometrische Reihe hier auch mitverwenden, falls ihr diese schon behandelt habt.

Gruß

Comments

Also reicht es doch zu sagen, dass \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x^n}\) divergiert für \(|x|>=1\) und konvergiert für \(|x|<1\)?