Durch Rekursionsvorschrift definierte Folge. Zu zeigen, dass K nach unten beschränkt und monoton fallend ist.

Question

Aufgabe:

Eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) nennt man genau dann nach unten beschränkt, wenn es ein \( K \in \mathbb{R} \) gibt, sodass \( a_{n} \geq K \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) eine Folge reeller Zahlen, die durch folgende Rekursionsvorschrift definiert ist. Zeige, dass \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) durch \( K \) nach unten beschränkt und monoton fallend ist. Folgere daraus, dass \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) konvergiert und berechne den Grenzwert.

(i) \( a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n} \) für \( n \geq 1, K=0 \);

(ii) \( a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{a_{n}} \) für \( n \geq 1, K=\sqrt{2} \).

Hinweis; Konvergiert eine Folge \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) gegcn den Greazwert \( a \), so konvergiert auch die Folge \( \left(a_{n+1}\right)_{n=1}^{\infty} \) gegen den Grenzwert a.

Answer 1

(1) Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(a_n>0\) für alle \(n>0\) gilt.
(2) Für alle \(n>0\) gilt$$a_{n+1}^2-2=\left(\frac12a_n+\frac1{a_n}\right)^2-2=\left(\frac12a_n-\frac1{a_n}\right)^2\ge0.$$Daraus folgt \(a_{n+1}\ge\sqrt2\).
Weil auch \(a_1=2>\sqrt2\) ist, ist die Folge nach unten durch \(\sqrt2\) beschränkt.
(3) Für alle \(n>0\) gilt$$a_{n+1}-a_n=\frac12a_n+\frac1{a_n}-a_n=\frac{2-a_n^2}{2a_n}\le0.$$(4) Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt also konvergent. Der Grenzwert \(a>0\) berechnet sich nach dem Hinweis aus$$a=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac12a_n+\frac1{a_n}\right)=\frac12a+\frac1a.$$