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Aufgabe:

Sei d ∈ ℝ>0 und an eine Folge mit a1 = 1 und an+1 = 1/2*(an+(d/an))
Zeigen Sie, dass an
1. für alle n ≥ 2 durch √d von unten beschränkt wird und
2. monoton fallend ist.


Problem/Ansatz:

Habe so meine Probleme hier. Ich denke mal, dass man das über Induktion machen muss, aber habe da das Problem, dass man bei dem Teil d/an, an nicht einfach durch die IV ersetzen darf, weil ja mit dem Kehrwert gerechnet wird, für den genau das Gegenteil der IV gilt, oder? Also bspw. wenn an+1≤an ist, dann ist d/an+1 ≥ d/an. Wäre dankbar für Hilfe

von

Zeige per Induktion, dass alle Folgeglieder positiv sind. Den Rest zeige direkt:$$(1)\quad a_{n+1}^2-d=\frac14\left(a_n+\frac d{a_n}\right)^2-d=\frac14\left(a_n-\frac d{a_n}\right)^2\ge0.$$$$(2)\quad a_n-a_{n+1}=a_n-\frac12\left(a_n+\frac d{a_n}\right)=\frac12\left(a_n-\frac d{a_n}\right)=\frac{a_n^2-d}{2a_n}\ge0.$$

Ist die 2 damit wirklich gezeigt? Wie sieht man dem Term denn an, dass er ≥0 ist? Also ja er ist es, aber wenn man einfach nur draufschaut, dann sieht man das ja nicht, oder? Bei der 1 sieht man es ja z.b. direkt.

Der Zähler in (2) ist nach (1) größer oder gleich Null. Nach der Anfangsbemerkung gilt dies auch für den Nenner und damit für den gesamten Bruch.

stimmt, hatte ich nicht drauf geachtet, dass das im zähler ja bewiesen wurde in (1) :)

danke dir für die antwort! würde dir eigentlich gerne die beste antwort geben, aber du hast leider nur kommentiert :( kannst du das in die antworten verschieben?

1 Antwort

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Beste Antwort

1.

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≥ √d → a(n) ≥ √d

2.

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≤ a(n) --> a(n) ≥ √d

von 430 k 🚀

1.

Die Frage, die ich mir stelle, darf man das ganze dann so machen:

a(n+1) = 1/2·(a(n) + (d / a(n))) ≥(IV) 1/2·(√d + (d / √d)) = ((√d)2 +d) / (2√d)= (2d) / (2√d) = √d, oder ist das nicht falsch, da das eine a(n) im Nenner steht?

Auch beim Induktionsanfang komme ich nicht weiter.

a(2)= 1/2·(a(1) + (d / a(1))) = 1/2·(1 + d) = ... ≥ √d

2.

Und das verstehe ich gar nicht. Muss man nicht a(n+1) ≤ a(n) benutzen im IS?

Also dann a(n+2) = 1/2·(a(n+1) + (d / a(n+1))) ≤(IV) 1/2·(a(n) + (d / a(n))) =a(n+1)

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