Ideale im Ring. Berechnung durchführen

Question

Ich habe folgendes gegeben:

A und B sind Ideale im Ring R.

Das A + B und A ∩ B ebenfalls Ideale in R sind habe ich bereits gezeigt.

Nun ist R = ℤ und  A = aℤ und B = bℤ für gewisse a,b ∈ ℕ

Nun soll ich natürliche Zahlen x und y bestimmen:

A + B = xℤ   und   A ∩ B = yℤ

Ich bin mir leider etwas unsicher was nun zu tun ist. Ich bin mir gerade auch nicht sicher, was aℤ zu bedeuten hat. a ist eine natürliche Zahl und ℤ der Körper der ganzen Zahlen. In welcher Beziehung stehen aℤ?

Comments

Die ganzen zahlen sind kein Körper!

\( a\mathbb Z\) sind alle ganzzahligen Vielfachen von a. in diesem Kontext auch bekannt als das von a erzeugte Ideal.

Answer 1

aℤ = {...-2a, a, 0, a, 2a, 3a, ...}

Beispiel: 2ℤ sind einfach die geraden ganzen Zahlen {...,-4,-2,0,2,4,6,...}

Hier 2 Tipps, du solltest dir selber überlegen wieso das so ist:

A+B = ggT(a,b)ℤ (Insbesondere wenn a und p teilerfremd, dann ist A+B schon ℤ)

A ∩ B = kgV(a,b)ℤ

Gruß

Comments

Ok, danke für die Tipps.

Dann hätte man zb.: a=9 und b=12

Also für A + B = 9ℤ + 12ℤ = 3ℤ, da der ggt (12,9) = 3 ist.

und für A ∩ B = 9ℤ ∩12ℤ = 36ℤ, da das kvg(12,9) = 36 ist.

Das stimmt so oder?

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Ja, das ist schon richtig. Jetzt müsstest du nur noch zeigen wieso das richtig ist (vorausgesetzt das wird von dir verlangt).

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Ich weiß gar nicht ob ich es beweisen muss, aber ich gehe mal davon aus.
Könnte man es so beweisen, dass für beliebige a ∈ aℤ und b ∈ bℤ, egal ob a + b oder a - b, das Ergebnis immer ein Vielfaches von ggt(a, b) ist.

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Im Grunde reicht es den Fall a+b zu zeigen, ja.

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Ich habe noch eine andere Frage. Das A * B und A ∩ B Ideale sind weiß ich bereits. Jetzt muss ich zeigen:
1)   A * B ⊆ A ∩ B

und dann darauffolgend, ob es ein Element in

2)   (A ∩ B) \ (A * B)

gibt?

zu 1) ich bin der ansicht, dass beide Seiten gleich sind und man dann bei 2) sagen kann, dass es kein Element gibt, mit der Begründung, dass beide Mengen gleich sind.

Ist meine Vermutung richtig oder gilt das bspw. nur in bestimmten Fällen?

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Das gilt nur wenn A und B teilerfremd sind. Ansonsten ist A*B eine echte Teilmenge von A ∩ B.

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Alles klar, Vielen Dank für deine Hilfe und Tipps. Falls du noch aktiv bist, wäre ich dir sehr verbunden, wenn du nochmal in meine andere Frage schauen könntest.

Mächtigkeit für Untergruppe und Ordnung eines Elements in Sym(5)