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Aufgabe: Populationsentwicklung , welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung?

Aufgabe: Die Population einer Tierart kann in die drei Altersstufen Jungtiere, ausgewachsene Tiere und Alttiere unterteilt werden.

Die Übergangsmatrix

$$ U = \begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$
mit u, v > 0 beschreibt die jährlichen Veränderungen innerhalb dieser Tierart.

Fragen:
a) Welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung?
b) Welche Aussagen zur Populationsentwicklung können Sie treffen, wenn u=0 ist.
c) Bestimmen sie u unter der Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.
d) Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an?
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Wenn Du die Übergangsmatrix noch leserlich machst, wäre das schön.

0         0      v

U=   0,5      0     0

0        0,5   0

In der Übergangsmatrix kommt doch gar kein \( u \) vor??Muss bei einer Übergangsmatrix nicht die Summe der Spalten werte \( 1 \) ergeben??

Der Fragesteller hat offenbar nicht nur keinerlei Durchblick, sondern auch noch die Übersicht verloren, hier seine ursprüngliche Matrix:
$$ U=\begin{pmatrix} 0 & u & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$

Entschuldigung, ich habe mich vertippt. Die ursprüngliche Matrix U ist wie Gast angegeben hat


U 00.40u00.25v00

a) Welche Bedeutung haben u und v für die Populationsentwicklung? 

u ist die Geburtenrate für ausgewachsene Tiere. Also wie viele Jungtiere als Nachkommen auf etwa ein ausgewachsenes Tier kommen.

v ist die Geburtenrate für alte Tiere. Also wie viele Jungtiere als Nachkommen auf etwa ein altes Tier kommen.

b) Welche Aussagen zur Populationsentwicklung können Sie treffen, wenn u=0 ist.

ist v < 10 stirbt die Population aus, ist v = 10 haben wir eine sich zyklisch wiederholende Population, ist v > 10 nimmt die Population langfristig zu.

c) Bestimmen sie u unter der Vorgabe, dass jedes ausgewachsene Tier entweder selbst zum Alttier wird oder aber stirbt und genau ein jungtier hinterlässt.

u = 1 - 0.25 = 0.75

d)Zeigen Sie, dass es für u=0,75 eine Altersentwicklung gibt, die sich jährlich wiederholt. Wie viele Tiere einer 180 köpfigen Herde gehören dann der jeweiligen Altersklasse an?

Ansatz

[0, 0.75, v; 0.4, 0, 0; 0, 0.25, 0]·[a; b; c] = [a; b; c]
a + b + c = 180

Ich komme da auf [120, 48, 12]

1 Antwort

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Hi,
als Ergänzung zu dem was Mathecoach geschrieben hat noch folgende Anmerkungen.
Zu (b)
Da \( u = 0 \) gilt, gilt für die Populationsmatrix P $$ P = \begin{pmatrix}  0 & 0 & v \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} $$
Da man jede natürliche Zahl \( n \) schreiben kann als \( n = 3m+k \) mit \( k=0,1,2 \) und \( P^3 = \left( \frac{v}{10} \right) I \) gilt,

mit \( I \) ist die Einheitsmatrix, folgt
$$ P^n=P^{3m+k}=\left(P^3\right)^m P^k=\left( \frac{v}{10} \right)^m P^k $$
Das erklärt, was Mathecoach geschrieben hat, für \( v < 10 \) stirbt die Population aus, weil \( \left( \frac{v}{10} \right)^m \to 0 \) geht. Für \( v > 10 \) folgt \( \left( \frac{v}{10} \right)^m \to \infty \), also nimmt die Population zu. Für \( v = 10 \) folgt \( \frac{v}{10}=1 \) und deshalb kann \( P^n \) nur die drei Zustände \( P, P^2, \text{ oder } P^3=I \) annehmen.

zu (d)
Hier gilt \( u = 0.75 \) und man muss die Gleichung
$$ Px=x $$ lösen. Die Matrix \( P \) hängt noch von \( v \) ab. Die Gleichung bedeutet, man muss \( v \) so bestimmen, dass \( v \) eine Lösung zum Eigenwert \( 1 \) ergibt. Die charakteristische Gleichung lautet
$$ det(P-\lambda \cdot I)=0  $$ und es muss gelten \( \lambda = 1 \)
Daraus ergibt $$ det(P - I)=\frac{2}{20}v-\frac{14}{20}=0 $$ also \( v = 7 \)
Das hat bei Mathecoach noch gefehlt.

Danach muss der Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda=1 \) bestimmt werden unter der Bediengung \( v = 7 \). Die Lösung für die spezielle Population ergibt sich als ein vielfaches des Eigenvektors.

Der Eigenvektor berechnet sich zu

$$  \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} $$ und der Multiplikationsfaktor ist \( \mu = 12 \)

Damit ergibt sich die gleiche Lösung wie von Mathecoach geposted.

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