Wie groß ist (axb)² + (ab)² (Vektorterm)

Question

- Wie groß ist \( (\vec{a} \times \vec{b})^{2}+(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} ? \)

- \( a^{2} b^{2} \sin ^{2} \varphi+a^{2} b^{2} \cos ^{2} \varphi=a^{2} b^{2} \)

Kann mir das jemand erklären?

Ich weiß, dass man (vec_a x vec_b) auch als a*b*sin(phi) darstellen kann. Aber die anderen Terme sind mir nicht klar.

Answer 1

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=a  b \sin \phi$$

$$\overrightarrow{a} \cdot  \overrightarrow{b}=a b\cos \phi$$

Dann $$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2+(\overrightarrow{a} \cdot  \overrightarrow{b})^2=(a  b \sin \phi)^2+(a b\cos \phi)^2=a^2b^2(\sin^2 \phi+\cos^2 \phi)=a^2b^2$$

Comments

Danke sehr!
Deine Rechnung ist schlüssig.

Kannst du mir bitte aber zeigen, warum die ersten 2 Zeilen gelten.

Ein Link wäre schon ausreichend.

Danke.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Geometrische_Definition

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Geometrische_Definition_…

Answer 2

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wer verteilt hier  wieder sagenhafte Punkte

für eine "beste" Antwort, die offensichtlich fehlerhaft ist?

zur Information :

-> das Kreuzprodukt aXb zweier Vektoren ist wieder ein Vektor

und also NICHT gleich dem Skalar a b sin(w)

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Comments

Also ist der Löser auch falsch?
Dann müsste der Betrag gemeint sein ...

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(a x b)² gibt dann schon einen Skalar.

Das ist ja noch das Skalarprodukt (a x b) * (a x b)  und damit der Betrag von (a x b) im Quadrat.

Ergänze wie im Link noch ein n in der 1. Zeile von maiems Antwort.

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" Also ist der Löser auch falsch?  "

..-> Nein -> ... Nur der Lösungsweg muss richtig aufgebaut werden :

also ->

axb ist ein Vektor

(axb)² = (axb)*(axb) ist das Skalarprodukt des Vektors axb mit sich selbst ,

dh ein Skalar..der  nach Def.des Skalarproduktes so berechnet werden kann:

(axb)*(axb) =  |axb| * |axb| * cos ß 

dabei ist |axb| der Betrag des Kreuzprodukt-Vektors axb .. also -> a*b*sin(w)

.. mit w= Winkel zwischen a und b

und ß  ist der Zwischenwinkel zwischen den beiden Vektoren (axb) und  (axb) ->

also ß= 0° ..

und damit ist dann  ->   cos ß = cos 0° = 1

=>

(axb)²=   (axb)*(axb) =  |axb| * |axb| * cos ß  =

[ a*b*sin(w)]*[ a*b*sin(w)]*cos ß = a² *b² * sin²(w) * 1

damit hast du dann den richtigen Weg zum Nachweis

der  zu Beginn notierten Behauptung ->

(axb)*(axb) + (a*b)²  =

a² *b² * sin²(w) * 1 + a² *b² * cos²(w) =

a² *b² * [ sin²(w)  +  cos²(w) ] = a² * b² * [ 1 ]  = a² * b²

ok?

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Sehr vielen Dank!