Untersuchen Sie die Funktion f auf Hoch-, Tief und Sattelpunkte: f(x) = 0,5x^{4} - x^{3}

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f auf Hoch-, Tief und Sattelpunkte:

f(x) = 0,5x^{4} - x^{3}

Answer 1

Hi,

f(x) = 0,5*x^4 - x^3

f'(x) = 2x^3 - 3x^2

f''(x) = 6x^2 - 6x

f'''(x) = 12x-6

Extrema:

f'(x) = 0 = x²(2x-3)

--> x_(1,2) = 0 und x_(3) = 3/2

Dann mit VZW-Kriterium überprüfen und in die Ausgangsfunktion.

Es ergibt sich T(1,5|-0,844)

Wendepunkte:

f''(x) = 0 = 6x^{2}-6x = 6x(x-1)

--> W_(1)(0|0) (ein Sattelpunkt) und W_(2)(1|-0,5)

wie die dritte Ableitung verrät.

Grüße

Comments

Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt. Er verdient einen speziellen Namen, da dessen Ableitung 0 ist.

Er hat also eigentlich nichts bei Extrempunkten verloren, sondern gehört zu den Wendepunkten. Zumal da Deine Schlussfolgerung nicht ausreichend ist.

f'(x) = 0 und f''(x) = 0 selbst ist nur notwendig für nen Sattelpunkt. Erst mit f'''(x) ≠ 0 wirds hinreichend ;).

Answer 2

Hi,

Ableitungen

f(x)= 0,5x⁴- x³

f'(x)= 2x³-3x²

f''(x)= 6x²-6x

f'''(x)= 12x-6

Extrempunkte

f'(x₀)=0

2x³-3x²

= x(2x²-3x)

x_1/2=0

x₃= 3/2

f''(3/2)=9/2 --> Tiefpunkt T(1,5|-27/32)

Wendepunkt

f''(x₀)=0

6x²-6x=0

x₁=1

x₂=0

f'''(1)=6 und das ist Ungleich Null, also Wendepunkt ;)

W₁(1|-1/2) und W₂(0|0) (ein Sattelpunkt)

Alles klar? Wenn Du noch fragen hast, kannst Du kommentieren.