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ich bin mir sicher jemand kann mir weiterhelfen.

Und zwar heißt meine Aufgabe so:

"Die Parabel P ist der Graph der Funktion f mit f(x) = 1/2 x² + x - 1;

An P werden zwei Tangenten gelegt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Tangente hat die Gleichung y = -x -3. Wie heißt die Gleichung der anderen.


Also mein erster Gedanke war, dass man die Steigung von y = -x -3 sofort rauskriegen kann wenn sie senkrecht zueinander steht.

Dann würde die zweite y = 1x + b sein.


Nur wie komme ich jetzt an b?

Muss ich mit der Diskriminante jetzt weitermachen denn die ist ja in diesem Fall 0.

Nur wie gehe ich da vor?


Liebe Grüße

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4 Antworten

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f ( x ) = 1/2 * x^2 + x -1

t1 ( x ) = - x - 3

m ( t2 ) = - 1 / (-1) = 1

In welchem Punkt ist die Steigung von f gleich 1 ?
Dies ist der Berührpunkt der gesuchten Tangente t2 mit f.

f ´( x ) = x + 1
Berührpunkt:
x + 1 = 1
x = 0

Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente t2
f ( 0 ) = 1/2 * 0^2 + 0 -1 = -1
B ( 0  | -1 )
-1 = m ( t2 ) * 0 + b
-1 = 1 * 0 + b
b = -1

t2 ( x ) = 1 * x - 1
t2 ( x ) = x - 1

Avatar von 122 k 🚀
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Parabel mit  f(x) = 1/2 x² + x - 1 hat zwei zueinander senkrechte Tangenten: y = -x-3 und?

Senkrecht zu dieser Tangente stehen Geraden mit der Gleichung 

y = x + q

Nun muss y = x+b Tangente an f(x) = 1/2 x^2 + x -1 sein.

Gerade und Kurve haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Daher allgemein: Gleichsetzen und Diskriminanten Null setzen.

x+ b = 1/2 x^2 + x - 1

0 = 1/2 x^2 - 1-q

0 = x^2 - 2 - 2q

0 = x^2 + (-2 - 2q)

Diskriminante mit a = 1 , b = 0 und c = (-2-2q)

D = b^2 - 4ac = 0 - 3(-2 - 2q)

------> a = -1

==> y = x -1.

Nachtrag: Diskriminante ist hier eigentlich nicht nötig, da der Summand mit x wegfällt.

x+ b = 1/2 x^2 + x - 1

0 = 1/2 x^2 - 1-q

0 = x^2 - (2 + 2q)        | 3. Binom

0 =(x - (2+2q)) ( x + (2+2q)) 

x1 = 2 + 2q 

x2 = -2 - 2q

Forderung: Beide sind gleich: 2 + 2q = -2 - 2q

4q = -4

q = -1. Wie oben bereits erhalten.


     

Avatar von 162 k 🚀
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Hi, was möchtest Du denn mit der Diskriminante machen?

Die Parabel ist linksgekrümmt, also gibt es nur eine Stelle, an der die Parabel die Steigung 1 hat... nutze das, es dürfte der schnellste Weg sein, auch wenn es natürlich auch anders geht!
Avatar von
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f(x) = 1/2·x^2 + x - 1

f'(x) = x + 1 = 1 --> x = 0

Es ist also die Tangente an der Stelle 0 gefragt. 

t(x) = f'(0)·x + f(0) = x - 1

Avatar von 477 k 🚀

Heyo,

Wie kommst du auf

f'(x) = x + 1 = 1 ?

Was ist das für eine Rechnung bzw. woher die Gleichung?

Wir wissen ja das die Tangente die Steigung 1 haben soll. Damit wird eine Stelle des Graphens gesucht, an der die Steigung 1 ist. Daher setzt man die 1. Ableitung gleich 1.

Entschuldigung für die Frage, aber wie kommst du auf die 1. Ableitung?

Stehe total auf dem Schlauch :(

Hi, die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2+x-1\) hat die Ableitung \(f'(x)=x+1\). Diese Ableitung muss gleich 1 gesetzt werden, also \(f'(x)=1\ \Leftrightarrow x+1=1\).

Hattet ihr Ableitungen noch nicht ? Dann könntest du auch anders vorgehen. 

Setze deine Parabel und deine Tangente gleich

1/2·x^2 + x - 1 = x + b

Und frage jetzt nach der Stelle an der es nur eine Lösung gibt. Dann muss die Diskriminante bei der Lösung der quadratischen Gleichung Null werden.

@Der_Mathecoach:

Gleichgesetz würde sie so heißen:

1/2·x² +(x-x)-1+b=0

Und hier jetzt die Diskriminante 0 setzen?

also heißt sie dann:

0 = b² - 4·a·c

0 = 0² - 4 · 1/2 · (-1+b)

Kann dies sein?

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