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Mir fällt es schwer, diese Gleichung auf beiden Seiten zu integrieren:

dv dt=a(v)=a0kv \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=a(v)=a_{0}-k v

dva0kv=dt \rightarrow \frac{\mathrm{d} v}{a_{0}-k v}=\mathrm{d} t


Die Gleichung stammt aus der Mechanik I und es wurde eine Trennung der veränderlichen durchgeführt, aber ich verstehe nicht wie ich links integrieren muss.

Ich dachte, die linke Seite wäre etwas wie z.b 5/(2x +4) dann wäre dies integriert 5·ln|2x+4|

und es käme bei der Aufgabe: v*ln|ao -kv| = t heraus.

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dva0kv=dt1a0kvdv=dt1klna0kv=t+c\frac{dv}{a_0-kv}=dt \Rightarrow \int \frac{1}{a_0-kv}dv=\int dt \Rightarrow -\frac{1}{k}\ln |a_0-kv|=t+c

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Super danke für deine Antwort!
Ich glaub ich hab da einen schwerwiegenden fehler bei mir,.. ich erkenne nämlich nicht die integrations Variablen scheinbar nicht .

also auf der linken Seite ist es t, das ist klar aber wieso ist es auf der rechten Seite nicht v  statt k? Ich mein da steht doch dv ... also es wäre doch sowas wie :

1(3+4x)dx=dy=>14ln3+4x=y\frac { 1 }{ (3+4x) } dx\quad =\quad dy\quad \quad =>\quad \frac { 1 }{ 4 } ln|3+4x|=y


oder nicht ?

An welche Stelle meinst du dass es v statt k sein sollte? 

Meinst dass es nach der Integration 1a0kvdv=dt\int \frac{1}{a_0-kv}dv=\int dt folgenderweise sein sollte 1vlna0kv=t+c-\frac{1}{v} \ln |a_0-kv|=t+c ?

Bei deinem Beispiel integrierst du nach x und hast dann vor den Logarithmus die Konstante 14\frac{1}{4} da im Logarithmus das x mit 4 multiplizierst ist.

Hier anstatt 4 haben wir -k.

Genau so :)
woran hast du erkannt das du nach k integrierst statt nach v? Ich meine k ist scheinbar richtig, allerdings verstehe ich nicht woran man das sehen sollte , denn  am Anfang in der Aufgabe stand ja  ... a(v)= a0 -kv
oh nein, es hat gerade klick gemacht! maiem vielen vielen Dank für die Zeit und Mühe, ich habs verstanden :)

Man integriert nach "v". Man hat ja "dv".

Das "-k" ist eine Konstante mit der das x multipliziert ist, wie in deinem Beispiel das "4".


Wenn du folgende Funktion differentierst f(v)=lna0kvf(v)=\ln |a_0-kv| bekommst du f(v)=ka0kvf'(v)=\frac{-k}{a_0-kv} aber im Integral hast du 1a0kv\frac{1}{a_0-kv} also fehlt das -k.


Also 1a0kvdv=1kka0kvdv=1k(lna0kv)dv=1klna0kv\int \frac{1}{a_0-kv}dv=\frac{1}{-k} \int \frac{-k}{a_0-kv}dv=\frac{-1}{k} \int (\ln |a_0-kv|)'dv=\frac{-1}{k}\ln |a_0-kv|



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