Ungleichung mit Betrag im Nenner des Bruchs

Question

Hallo liebe Mathematiker,

für folgende Ungleichung such ich eine Lösung:

x / |x+3| < 1 / (x-1)

Ich habe folgende 3 Fälle: x<-3 ; -3<x<1 ; x>1

Für x> 1 und -3<x<1 habe ich bereits die Lösung.

Für x<-3 fehlt mir diese jedoch.

Bei x<-3 gilt ja folgendes:

(x-1) ist auf jeden Fall negativ und aus dem Betrag wird -(x+3).

Ich erhalte beim Umstellen dann aber kein logisches Ergebnis.

x^2-x < -x-3

wenn man jetzt noch +x macht erhält man keine Lösung, ich weiß aber das es eine geben muss für diesen Fall.

Wo liegt mein Fehler ?

Answer 1

Der Fehler liegt hier x²-x < -x-3
Es muss > heißen, denn

x / (-x-3)   <   1  /   (x-1)                  | *(x-1)   Zeichen umdrehen, da der Faktor neg.
(x-1) * x / (-x-3) > 1                          | * ( -x - 1)    Faktor positiv, also nicht umdrehen
(x-1) * x       >   (-x-3)
    x^2 > -3   und das gilt sogar für alle x<-3

Answer 2

hier schon einmal die Skizze

blau ist die linke Seite Seite der Gleichung.
rot ist die rechte Seite.
Wir suchen also den Bereich blau unter rot.

Später kommen noch die handschriftlichen Berechnungen.

Lösungsmenge
-∞ .. -1
und
1 < x < 3

mfg Georg

Comments

Vielen Dank euch schonmal für die Antworten.

Woher geht aber aus x^2 > -3 hervor, das gilt: -unendlich<x<-3?

Gruß

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im ersten Schritt habe ich mit | x + 3 |
multipliziert und damit auf die rechtes Seite gebracht.

Dann habe ich 4 Fälle untersucht
1a.) ( x > 1 ) aund ( x + 3 > 0 )
1b.) ( x > 1 ) aund ( x + 3 < 0 )
2a.) ( x < 1 ) aund ( x + 3 > 0 )
2b.) ( x < 1 ) aund ( x + 3 < 0 )

Ich hoffe einiges ist nachvollziehbar.
Ansonsten wieder nachfragen.

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Hi. Ok, die andern ergbnisse hab ich auch :)
Aber wenn dort steht x^2 > -3Was bedeutet stets x<1 und ? ( kann ich nicht lesen)?
Eigentlich kann man in x doch einsetzen was man will von minus bis plus unendlich, weil quadrat alles plus macht und das größer ist als -3?

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Aber wenn dort steht x² > -3 Was bedeutet stets x<1 und ?

Du meinst Fall 2b)
Für Fall 2 gilt
x - 1 < 0
x < 1
für Fall b zusätzlich
x + 3 < 0
x < - 3
als Ergebnis erhielt ich
x^2 > -3 ( stets )
Für Fall 2b) gilt
x < 1 ( aus der Voraussetzung )
x < - 3 ( aus der Voraussetzung )
x^2 > -3  ( stets )
Alle drei Aussagen erfüllt der Bereich
x < -3

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Ok.

Ich habe die Fälle anderst eingeteilt.

Beim Prüfen des Falls x< -3  bei mir erhalte ich eben dieses x^2 >-3

Wie schliesse ich nun darauf, dass gilt : -unendlich<x<-3 für diesen Fall

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Hi, beachte: \(x^2\gt-3\) gilt immer.

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@jd139

Du sagst nichts Neues.
Das ist in diesem Beitrag schon ein paar mal festgestellt worden.

Beim Prüfen des Falls x < -3  bei mir erhalte ich eben dieses x² >-3
Wie schliesse ich nun darauf, dass gilt : -unendlich<x<-3 für diesen Fall

Die Aussage x^2 > -3 ist wertlos. Da Sie für jedes x gilt und stets wahr ist.
Wichtig sind die Aussagen
x < 1 ( aus der Voraussetzung )
x < - 3 ( aus der Voraussetzung )
Die Schnittmenge ist
x < - 3
Der Zahlenbereich kann auch geschrieben werden als
] -∞ ; -3 [
oder
-∞ < x < -3