Man bestimme eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und bestätige die Dimensionsformel. (LGS)

Question

Aufgabe 1:

Gegeben sei das Lineare Gleichungssystem für die Unbekannten  x_1, x₂ und  x₃

\( \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ a & -2 & b \\ -1 & 0 & b\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ 0\end{array}\right) \)

(a, b und c₁ und c₂ sind beliebig gewählte reelle Zahlen)

Unter welcher Bedingung ist das System (a) eindeutig lösbar,  (b) nicht lösbar, (c) lösbar, aber nicht eindeutig lösbar?


Aufgabe 2:
Die lineare Abbildung  ƒ: ℝ⁵→ℝ³ wird durch die folgende Matrix A bezüglich der Kanonischen Basen gegeben:

\( A=\left(\begin{array}{rrrrr}3 & -6 & -3 & -6 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & -2 & 0\end{array}\right) \)

Man bestimme eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und bestätige die Dimensionsformel.

Answer 1

Zur 1. Aufgabe:
Schreibe deine Multiplikation doch mal aus :
Du erhältst :
1x₁ +1x₂ = c₁

a*x₁-2x₂+bx₃₌c₂

-x₁+         bx₃= 0

Wie man Lösungen eines solchen Gleichungssystem berechnet verstehst du ?

So ein System ist eindeutig lösbar,wenn du es auf Zeilenstufenform bringen kannst, ohne Nullzeilen zu erhalten.

Es hat keine Lösung,wenn du durch Addition der Zeilen auf eine nicht wahre Gleichung kommst  :

z.B: 0 0 0 = 1

Es ist lösbar,aber nicht eindeutig kösbar,wenn du durch umformen Nullzeilen erhältst.

Das müsste dir enorm helfen 1) zu lösen. Falls du noch Fragen dazu hast, frag  einfach.

zu 2:

Zunächst einmal zum Kern.

Der Kern einer Funktion besteht aus Elementen,die in die Funktion eingesetzt, auf 0 abbilden.

Also es gilt für alle d Element von ker(f(x) ) . f(d) = 0

Nimm dir doch mal einen allgemeinen Vektor aus dem R^5 (x1,x2,x3,x4,x5) und setze diesen in deine Funktion ein, bzw. multipliziere diesen mit der Matrix. Du erhältst ein Gleichungssystem,dass du auflösen musst.

Du hast nun 5 Unbekannte,aber nur 3 Gleichungen. Es wird also,wenn es Lösungen gibt. Unendlich viele Lösungen geben. Bestimme also die Lösung in Abhängigkeit von dir gewählten Unbekannten und bilde hier von den span.

Zu der Basis des Bildes:Das Bild deiner Funktion ist f(x) . Also grade das,wohin deine Funktion abbildet. Versuche auch hier deine Matrix so gut ,wie es geht auf Zeilenstufenform zu bringen.

Deine Basis besteht nun aus den Spalten der nicht-Nullzeilen.

Die Dimensionsformel lautet:
Es existieren zwei endlichdimensionale Untervektorräume U und V.
So folgt :
dim(U+V) = dim U+dim V -dim(UgeschnittenV)