Wie kann ich bei dieser Funktion das Symmetrieverhalten untersuchen?

Question

wie kann ich bei der Funktion f(x)=ln((x^2)+2x+3) das Symmetrieverhalten untersuchen?

Ich habe den Graph zeichnen lassen und so gesehen, dass die Funktion (achsen?)symmetrisch ist.

f(-x)=ln((x^2-2x+3) und somit ungleich f(x) und auch ungleich -f(x) ?

Wäre schön, wenn das jemand kurz erklären könnte.

e^x ist ja assymmetrisch, wärend e^x² symmetrisch ist. Muss man bei ln und e funktionen immer nur die Klammer bzw. den Exponent betrachten?

Vielen Dank vorab!

Answer 1

das was du überprüfst wäre die Achsensymmetrie zur y-Achse. Die Funktion ist aber klar nicht symmetrisch zur -Achse.

Die Funktion ist allerdings symmetrisch zu der Achse x = -1. Dafür reicht es schon die Symmetrie von \(x^2+2x+3 \) zu untersuchen (Parabeln sind immer symmetrisch zu der Achse durch ihren Scheitelpunkt).

Gruß

Comments

Ok, Danke.

Und stimmt dieser Satz von mir:

e^x ist ja assymmetrisch, wärend e^x^2 symmetrisch ist. Muss man bei ln und e funktionen immer nur die Klammer bzw. den Exponent betrachten und kann dann daraus die Symmetrie folgern?

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Was heißt richtig? Dieses Vorgehen kann zum Ziel führen muss aber nicht, weil du auch andere Sachen berücksichtigen musst (zum Beispiel darf der Ausdruck in der Klammer bei ln nicht negativ sein). Insgesamt ist dieser Satz also keine gute Verallgemeinerung und viel zu vage formuliert.

Answer 2

Hier zunächst eine Skizze für eine
Funktion achsensymmetrisch zu x = u

Es gilt
f ( u + d ) = f ( u - d )

Es ergibt sich u = -1

mfg

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Sehr ausführlich, Danke für die Mühen!