Kann mir jemand die Funktionsgleichung sagen (Kurvendiskussion Rückwärts)

Question

Der zur y-Aches symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extrenum. Er berührt dort die x-Achse.

Ich will nur wissen wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax⁴ + bx² + c ist und nicht f(x) = ax⁴ + bx² + c +d +e ?

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Vom Duplikat:

Titel: Kurvendiskussion Rückwärts mit benutztung des Taschenrechners

Stichworte: ganzrationale,funktion,4,grades

Die Aufgabe ist: Bestimmen sie die Gleichung der Funktion mit den beschriebenen Eigenschaften:

Der zur y-Aches symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extrenum. Er berührt dort die x-Achse.

könnt ihr mal die Bedinungen aufstellen und die gleichungen dürfen wir in der Schule mit dem einem Taschrechnermodus ausrechnen um die unbekannten zu finden. Aber wer möchte kann dies auch ohne taschenrechner machen also mit einem Gleichungssystem. Danke und Kussi im Voraus :)

Answer 1

Der zur y-Aches symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extrenum. Er berührt dort die x-Achse.

 

f (x) = ax^4 + bx^2 + c    wegen Symmetrie keine ungeraden Exponenten bei x.

f(0)=2  gibt   c = 2

f ' ( 2 ) = 0    wegen Extremum         4a*2^3 + 2b*2 = 0
f   ( 2) = 0   wegen Graph geht durch (2/0) .    a*2^4 + b*2^2 + 2 = 0

Das gibt   32a + 4b =0
                  16a  + 4b = - 2    1. Gl minus 2. gibt   16a = 2   also a=1/8  und damit b= -1

also f(x) =  1/8 x^4  -  x^2  + 2

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ok aber wieso schreiben wir nicht noch +b +e also f(x) = ax^4 + bx^2 + c +d +e ?

Answer 2

Wenn eine Symmetrie zur y-Achse vorhanden ist, können nur gerade Potenzen von x vorkommen.

Daher f(x) = ax^4 + bx^2 + c

oder, wenn du lieber willst

f(x) = ax^4 + cx^2 + e

Zur Symmetrie vgl. Video weiter oben in diesem Link: https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

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Ja aber ist doch eine Funktion viertes Grades wieso dann nicht ax⁴ + bx² + c +d +e

Answer 3

Hi!

Frage:
Ich will nur wissen, wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax4 + bx2 + c ist
und nicht f(x) = ax4 + bx2 + c +d +e ?

Antwort:
Die Koeffzienten in den ungeraden Monomen müssen bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen Funktion alle Null sein.

Soweit zu deinem Problem. Nun noch was zur Aufgabe: Die Angaben lassen einen sehr einfachen Ansatz über die Produktdarstelung zu, so dass sich die Funktionsgleichung ohne Rechnung schreiben lässt als
$$ y = \frac{1}{16} \cdot \left(x+2\right)^2 \cdot \left(x-2\right)^2. $$

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Oha, da sehe ich nach über zehn Jahren meine eigene Antwort wieder und finde doch tatsächlich einen Fehler. Wegen \(y(0)=2\) muss natürlich vorne \(1/8\) stehen, nicht \(1/16\).

Answer 4

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0|2) und hat bei x=2 ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse

...hat bei \( x=2 \)  ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse:

Da ist eine doppelte Nullstelle . Wegen der Achsensymmetrie ist auch bei \( x=-2\) ein Extremum.

Nullstellenform:

\( f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2 \)

...geht durch \( P(0|2)\)

\( f(0)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=2 \)

\( a=\frac{1}{8}\)

\( f(x)=\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2 \)