Kann mir jemand die Funktionsgleichung sagen (Kurvendiskussion Rückwärts)

Question

Der zur y-Aches symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extrenum. Er berührt dort die x-Achse.

Ich will nur wissen wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax⁴ + bx² + c ist und nicht f(x) = ax⁴ + bx² + c +d +e ?

Answer 1

Wenn eine Symmetrie zur y-Achse vorhanden ist, können nur gerade Potenzen von x vorkommen.

Daher f(x) = ax^4 + bx^2 + c

oder, wenn du lieber willst

f(x) = ax^4 + cx^2 + e

Zur Symmetrie vgl. Video weiter oben in diesem Link: https://www.matheretter.de/wiki/achsensymmetrie

Comments

Ja aber ist doch eine Funktion viertes Grades wieso dann nicht ax⁴ + bx² + c +d +e

Answer 2

Hi!

Frage:
Ich will nur wissen, wieso es die Funktionsgleichung f (x) = ax4 + bx2 + c ist
und nicht f(x) = ax4 + bx2 + c +d +e ?

Antwort:
Die Koeffzienten in den ungeraden Monomen müssen bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen Funktion alle Null sein.

Soweit zu deinem Problem. Nun noch was zur Aufgabe: Die Angaben lassen einen sehr einfachen Ansatz über die Produktdarstelung zu, so dass sich die Funktionsgleichung ohne Rechnung schreiben lässt als
$$ y = \frac{1}{16} \cdot \left(x+2\right)^2 \cdot \left(x-2\right)^2. $$

Comments

Oha, da sehe ich nach über zehn Jahren meine eigene Antwort wieder und finde doch tatsächlich einen Fehler. Wegen \(y(0)=2\) muss natürlich vorne \(1/8\) stehen, nicht \(1/16\).

Answer 3

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0|2) und hat bei x=2 ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse

...hat bei \( x=2 \)  ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse:

Da ist eine doppelte Nullstelle . Wegen der Achsensymmetrie ist auch bei \( x=-2\) ein Extremum.

Nullstellenform:

\( f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2 \)

...geht durch \( P(0|2)\)

\( f(0)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=2 \)

\( a=\frac{1}{8}\)

\( f(x)=\frac{1}{8}(x-2)^2(x+2)^2 \)