Das lässt sich über die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimmen.
Für das Gleichungssystem Ax = b betrachtet man zunächst das zugeordnete homogene System Ax = 0.
Es gilt dann: das System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn det A ≠ 0 gilt.
Falls det A = 0 gilt, hat das System Ax = 0 unendlich viele Lösungen. Nun müssen zusätzlich die sogenannten Nebendeterminanten bestimmt werden, bei denen jeweils eine Spalte durch den Inhomogenitätsvektor ersetzt wird. Nur wenn alle diese Nebendeterminanten ebenfalls null sind, gibt es unendlich viele Lösungen, ansonsten gibt es gar keine.
Bestimmen wir also die Determinante der Koeffizientenmatrix:
$$ \begin{array} { l } { \operatorname { det } ( A ) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { t } & { 1 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { t } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| } \\ { = ( - 7 + 6 ) + 4 * ( 3 t - 7 ) } \\ { = 12 t - 29 } \end{array} $$
Die Nullstelle liegt damit bei 12t - 29 = 0 ⇔ t = 29/12
Für alle Werte t ∈ ℝ\{29/12} ist das System also eindeutig lösbar.
Für den speziellen Wert berechnen wir nun die Nebendeterminanten:
$$ \operatorname { det } \left( A _ { I } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { 5 } & { t } & { 1 } \\ { 7 } & { 2 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| = 5*2*(-3)+ t*1*(-12)+1*7*(-7)-1*2*(-12)-5*1*(-7)-t*7*(-3) \\ \begin{array} { l } { = - 30 - 12 t - 49 + 24 + 35 + 21 t } \\ { = 9 t - 20 \quad | t = 29 / 12 } \\ { = 9 * 29 / 12 - 20 = 1.75 \neq 0 } \end{array} $$
$$ \operatorname { det } \left( A _ { 2 } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 5 } & { 1 } \\ { 4 } & { 7 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 7 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { 5 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( 21 - 12 ) + ( 60 - 12 ) = 9 + 48 = 57 ≠ 0 $$
$$ \operatorname { det } \left( A _ { 3 } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { t } & { 5 } \\ { 4 } & { 2 } & { 7 } \\ { 0 } & { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 7 } \\ { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { t } & { 5 } \\ { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| = (24-49) + (48t-35) \\ = 48t - 60 \qquad t=29/12 \\ = 4*29 - 60 = 56 ≠ 0 $$
Damit besitzt das System für diesen Fall unendlich viele Lösungen.
