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Wie kann man bei einem Gleichungssystem die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von einem Paramenter angeben? Wäre nett, wenn mir das jemand an einem Beispiel erklären könnte.

Welchen Wert nimmt der Parameter t an, wenn das Gleichungssytem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat?

- a + tb + c = 5
4a+ 2b + c = 7
-7b -3c = -12

von

1 Antwort

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Das lässt sich über die Determinante der Koeffizientenmatrix bestimmen.

Für das Gleichungssystem Ax = b betrachtet man zunächst das zugeordnete homogene System Ax = 0.

Es gilt dann: das System ist genau dann eindeutig lösbar, wenn det A ≠ 0 gilt.

Falls det A = 0 gilt, hat das System Ax = 0 unendlich viele Lösungen. Nun müssen zusätzlich die sogenannten Nebendeterminanten bestimmt werden, bei denen jeweils eine Spalte durch den Inhomogenitätsvektor ersetzt wird. Nur wenn alle diese Nebendeterminanten ebenfalls null sind, gibt es unendlich viele Lösungen, ansonsten gibt es gar keine.

Bestimmen wir also die Determinante der Koeffizientenmatrix:

$$ \begin{array} { l } { \operatorname { det } ( A ) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { t } & { 1 } \\ { 4 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { t } & { 1 } \\ { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| } \\ { = ( - 7 + 6 ) + 4 * ( 3 t - 7 ) } \\ { = 12 t - 29 } \end{array} $$

Die Nullstelle liegt damit bei 12t - 29 = 0 ⇔ t = 29/12

Für alle Werte t ∈ ℝ\{29/12} ist das System also eindeutig lösbar.

Für den speziellen Wert berechnen wir nun die Nebendeterminanten:

$$ \operatorname { det } \left( A _ { I } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { 5 } & { t } & { 1 } \\ { 7 } & { 2 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 7 } & { - 3 } \end{array} \right| = 5*2*(-3)+ t*1*(-12)+1*7*(-7)-1*2*(-12)-5*1*(-7)-t*7*(-3) \\ \begin{array} { l } { = - 30 - 12 t - 49 + 24 + 35 + 21 t } \\ { = 9 t - 20 \quad | t = 29 / 12 } \\ { = 9 * 29 / 12 - 20 = 1.75 \neq 0 } \end{array} $$

$$ \operatorname { det } \left( A _ { 2 } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 5 } & { 1 } \\ { 4 } & { 7 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 7 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { 5 } & { 1 } \\ { - 12 } & { - 3 } \end{array} \right| = ( 21 - 12 ) + ( 60 - 12 ) = 9 + 48 = 57 ≠ 0 $$

$$ \operatorname { det } \left( A _ { 3 } \right) = \left| \begin{array} { c c c } { - 1 } & { t } & { 5 } \\ { 4 } & { 2 } & { 7 } \\ { 0 } & { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| = ( - 1 ) * \left| \begin{array} { c c } { 2 } & { 7 } \\ { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| - 4 * \left| \begin{array} { c c } { t } & { 5 } \\ { - 7 } & { - 12 } \end{array} \right| = (24-49) + (48t-35) \\ = 48t - 60 \qquad t=29/12 \\ = 4*29 - 60 = 56 ≠ 0 $$

Damit besitzt das System für diesen Fall unendlich viele Lösungen.

von 10 k

Ich bin jetzt etwas verwirrt. Du hast nun gezeigt, dass die Nebendeterminanten alle ungleich 0 sind. Das hieße dann doch, dass es keine Lösung gibt und nicht unendlich viele oder?

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