Vollständige Induktion (1+x)^n <= 1+(2^n - 1)x

Question

könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? :)

Ich bin bisher soweit gekommen. weiß aber nicht genau wie ich nun "zum Ende" kommen soll.

Nun weiß ich leider nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin bzw. wie ich nun weiter umformen soll?
Kann ich beide Seiten durch x^2 - x teilen, um 2^n <= 1 zu erhalten? Mir ist nicht ganz klar wie ich nun zeige das es korrekt ist (insofern es das überhaupt ist).

Vielen Dank schonmal. :)

Answer 1

Ist doch prima; Du musst ja nur zeigen, dass deine äquivalent umgeformte Ungleichung
für alle n >=1 und für alle x aus [0;1] richtig ist.
Die Idee mit dem Teilen sollte ja den Weg dahin zeigen, allerdings musst du da etwas vorsichtig sein.
wenn nämlich x=0 oder x=1 ist, dann ist x^2-x = 0 und durch 0 kann man nicht teilen,
allerdings ist das dann auch kein Problem,
Du sagst:  1. Fall :   x=0 oder x=1
dann steht da ja  2^n * 0 <= 0 und das ist sicherlich wahr
für alle n>=1.
2. Fall 0<x<1 dann ist  x^2-x < 0 und du kannst teilen, wegen <0 dreht sich aber das Zeichen rum
und du hast   2^n >= 1   und das ist gewiss für alle n>=1 wahr.
                                                                                                                  q.e.d.