Ist doch prima; Du musst ja nur zeigen, dass deine äquivalent umgeformte Ungleichung
für alle n >=1 und für alle x aus [0;1] richtig ist.
Die Idee mit dem Teilen sollte ja den Weg dahin zeigen, allerdings musst du da etwas vorsichtig sein.
wenn nämlich x=0 oder x=1 ist, dann ist x^2-x = 0 und durch 0 kann man nicht teilen,
allerdings ist das dann auch kein Problem,
Du sagst: 1. Fall : x=0 oder x=1
dann steht da ja 2^n * 0 <= 0 und das ist sicherlich wahr
für alle n>=1.
2. Fall 0<x<1 dann ist x^2-x < 0 und du kannst teilen, wegen <0 dreht sich aber das Zeichen rum
und du hast 2^n >= 1 und das ist gewiss für alle n>=1 wahr.
q.e.d.