Ein Würfel wird n-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei gar keine Sechs wirft?

Question

Aufgabe - Mehrstufige Baumdiagramme:

Ein Würfel wird n-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei gar keine Sechs wirft?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man wenigstens eine Sechs?

Wie oft muss man werfen, wenn die Wahrscheinlichkeit für, „wenigstens eine Sechs" mindestens 90 % betragen soll?

Answer 1

p (keine 6) = (5/6)*(5/6)*(5/6) ... n- mal also   = (5/6)^n

wenigstens eine 6 ist das Gegenteil, also p = 1 - (5/6)^n

1 - (5/6)^n = 0,9
- (5/6)^n = - 0,1
(5/6)^n = 0,1     | logarithmieren
n *  ln( 5/6) =  ln(o,1)
n = ln(0,1) / ln(5/6) =  12,63

Also 13 mal würfeln.

Answer 2

die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf eine 6 zu würfeln, beträgt 1/6; die W., in einem Wurf keine 6 zu würfeln, beträgt 5/6.

Die W., in zwei Würfen keine 6 zu würfeln: 5/6 * 5/6 = (5/6)²  

Die W., in drei Würfen keine 6 zu würfeln: 5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)³

Entsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, in n Würfen kein einziges Mal eine 6 zu würfeln: (5/6)ⁿ 

Die W., mindestens einmal eine 6 zu würfeln ist das Gleiche wie 1 - W. für keine 6, also

1 - (5/6)ⁿ   

Wie oft muss man werfen ...?

1 - (5/6)ⁿ ≥ 0,9 | -0,9 + (5/6)ⁿ

0,1 ≥ (5/6)ⁿ

Der Einfachheit halber schreiben wir

0,1 = (5/6)ⁿ | Logarithmus

n = ln(0,1) / ln(5/6) ≈ 12,63

Man muss 13 mal werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von ≥ 90% mindestens eine 6 zu würfeln.

Probe:

1 - (5/6)¹² ≈ 1 - 0,1122 = 0,8878 = 88,78%

1 - (5/6)¹³ ≈ 1 - 0,0935 = 0,9065 = 90,65%

Besten Gruß