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7.1.0 Ein Verpackungsmittelhersteller will einen quaderförmigen Getränkebehälter ohne Deckel entwerfen, der 330 Milliliter Saft aufnehmen kann. Die Höhe h soll das Dreifache der Seite a der rechteckigen Grundfläche betragen.


7.1.1 Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion \( \mathrm{A}_{0} \) mit der Gleichung

\( A_{0}(a)=6 a^{2}+\frac{770}{a} \)

eine Zielfunktion für die Berechnung des Oberflächeninhalts für den beschriebenen Behälter ist.

7.1.2 Berechnen Sie die Kantenlängen des Behälters so, dass der Materialaufwand minimal wird und geben Sie den absolut kleinsten Oberflächeninhalt an. Auf die Überprüfung der Randwerte wird verzichtet.


7.2 Des Weiteren soll geprüft werden, mit welchem Materialeinsatz ein zylinderförmiger Getränkebehälter ohne Deckel hergestellt werden kann, dessen Fassungsvermögen ebenfalls 330 Milliliter beträgt und dessen Höhe h dem Dreifachen des Durchmessers d der Grundfläche entspricht.

Berechnen Sie Durchmesser, Höhe und Oberflächeninhalt des beschriebenen Behälters.


7.3 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass für die Herstellung eines zylinderförmigen Behälters ohne Deckel \( 400 \mathrm{~cm}^{2} \) Material eingesetzt werden soll. Weitere Bedingungen werden nicht festgelegt.

Stellen Sie flir diesen Behälter eine Zielfunktion für die Berechnung des maximalen Volumens in Abhängigkeit vom Durchmesser d auf.

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O = a * b + 2a * h  + 2b * h

V = a * b * h = 330 ml

h = 3 * a

a * b * h = 330
a * b * 3 * a  = 330
3 * a^2 * b = 330

b = 110 / a^2

O = a * b + 2a * h  + 2b * h
O = a * ( 110 / a^2 ) + 2a * ( 3 * a )  + 2*(110/a^2) * 3 * a
O = 110 / a  + 6 * a^2  + 6 * 110 / a)
O = 6 * a^2 + 7 * 110 / a
O = 6 * a^2 + 770 / a

von 121 k 🚀

O = 6 * a2 + 770 / a

O´( a ) = 12 * a - 770 / a^2
12 * a - 770 / a^2 = 0
12 * a = 770 / a^2
12 * a^3 = 770
a^3 = 770 / 12
a = 4

b, h und = O schaffst du sicher ?

Zylinder
V = (d/2)^2 * π * h
h = d * 3
V = (d/2)^2 * π * d * 3
(d/2)^2 * π * d * 3 = 330
d = 5.19
h = 3 * 5.19

Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche
Mantelfläche : Umfang Grundfläche * h

7.3 auch ?


"b, h und = O schaffst du sicher "


Welche Formel muss ich da jeweils nehmen?

"b, h und = O schaffst du sicher "

a = 4

h = 3 * a = 12

a * b * h = 330
b = 330 / ( 4 * 12 )
b = 6.875

Einmal die kurze Kontrolle der Werte über
V = a * b * c = 330
V = 4 * 6.875 * 12 = 330  | stimmt

O = 6 * a2 + 770 / a
O = 6 * 42 + 770 / 4
O = 6 * 16 + 192.5
O = 288.5

Meine Ergebnisse bei der Mantelfläche hab ich 253,867 & bei der Oberfläche hab ich 275,023 raus. Stimmt das oder eher nicht?

Du meinst den Zylinder ?

meine Werte

d = 5.1932
h = 15.5796
Grundfläche = 21.1817
Umfang = 16.315
Mantelfläche = 254.18

Ja, ich meine den Zylinder.

Meine Werte weichen von deinen so ab, weil ich mit nur zwei Nachkommastellen weitergerechnet habe.

Hier der Rechenweg zu 7.3:

Bild Mathematik

Hallo Thomas,

  ich habe machmal den Eindruck deine Schwierigkeiten
rühren daher das du kein Konzept hast was du willst.

Bei Aufgabe 7.3 wird gefordert, zum Schluß soll herauskommen

V ( d ) = ...
und der Extremwert
V ´( d ) = 0

Gegegeben ist dir die Oberfläche
O ( d, h ) = 400

V ( d,h ) ist zunächst (d/2)^2 * π * h

Also heißt es die Oberflächenformel nach h umstellen
h = ...
und in der Volumenformel zu ersetzen. Dann hast du
V ( d )

mfg Georg

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