Aufgabe:
Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion \( \mathrm{f} \) an der Stelle \( x_{0}=2 \) mithilfe des Differenzenquotienten für \( h=0 \).
a) \( f(x)=x^{2} \)
b) \( f(x)=\frac{2}{x} \)
c) \( f(x)=2 x^{2}-3 \)
d) \( f(x)=x^{4} \)
e) \( f(x)=x^{3} \)
f) \( f(x)=4 x-x^{2} \)
g) \( f(x)=\sqrt{x} \)
h) \( f(x)=5 \)
Lösungsansatz:
$$f(x)=x^2$$
$$ \frac{dy}{dx}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x) }{x-(x+h)}$$
entweder erst allgemein lösen und dann die Stelle x=2 einsetzen oder gleich x=2 einsetzen ... was magst Du lieber ?
Hallo kann jemanf vielleicht die b) erklären verstehe das so gar nicht! Da soll am ende 0,5 oder so raus kommen aber ich weiß nicht wie man das rechnet. Kann das jemand vielleicht rechnen??
Diese über zehn Jahre alte Aufgabe findet man in ähnlicher Form auch in aktuellen (2025) Lehrbüchern für das erste Jahr der Oberstufe.
Was soll man tun? Man soll "näherungsweise" die Ableitung der genannten Funktion an der genannten Stelle mithilfe des "Differenzenquotienten für \( h=0 \)" bestimmen.
Was soll man eher nicht tun? Die Ableitung der genannten Funktion an der genannten Stelle über den "Grenzwert des Differenzenquotienten für \( h=0 \) exakt berechnen".
Das ist meine Meinung zur Aufgabenstellung und zur bisherigen Diskussion.
Entweder war die Aufgabenstellung falsch oder wurde falsch abgeschrieben.
Für h = 0 könnte für h → 0 lauten. Manchmal steht in der Aufgabe auch fälschlicherweise für sehr kleine h. Wobei hier natürlich eben nicht sehr kleine Werte gemeint sind, sondern kleine positive Werte nahe bei 0.
Entweder war die Aufgabenstellung falsch oder wurde falsch abgeschrieben.Für h = 0 könnte für h → 0 lauten. Manchmal steht in der Aufgabe auch fälschlicherweise für sehr kleine h. Wobei hier natürlich eben nicht sehr kleine Werte gemeint sind, sondern kleine positive Werte nahe bei 0.
Warum sollte an der Aufgabenstellung was falsch sein?
Man kann den Differenzenquotienten für h = 0 exakt berechnen. Da braucht kein Näherungsweise zu stehen. Außerdem wird hier der Differenzenquotient zum Differenzialquotient.
Wenn ich für h z.B. h = 0.00001 nehme, dann ist das Ergebnis nur näherungsweise richtig. Dann ist h allerdings nicht gleich 0.
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sondern kleine positive Werte nahe bei 0
Es geht nicht um einseitige Ableitungen !
Wenn ich für h z.B. h = 0.00001 nehme, dann ist das Ergebnis nur näherungsweise richtig
Das spricht nicht für deine Rechenfertigkeiten.
Dann ist das nur näherungsweise die Ableitung an der Stelle 2. Meine Rechnung ist vermutlich schon richtig.
Das würde ich nochmal überdenken.
\( f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2(x+h)^2-3-(2x^2-3)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2x^2+4hx+2h^2-3-2x^2+3}{h}\)
\( f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{4hx+2h^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}4x+2h=4x\)
Zum Beispiel zu a). Wähle \(h\) stets klein.
\(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\frac{2,001^2-2^2}{2,001-2}=\frac{0,004001}{0,001}=4,001\) für \(h=0,001\).
Also \(f'(2)\approx 4,001\).
Vermutung: \(f'(2)=4\).
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