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Hi, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen!?

Vielen Dank

Aus einer Halbkugel mit dem Radius R= 6cm wird ein Kegel herausgeschnitten, dessen Spitze der Mittelpunkt der Grundfläche der Halbkugel ist. Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h des Kegels mit maximalem Volumen.
Bild Mathematik

von

2 Antworten

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Wie wäre es mit diesem Lösungsweg?

Zunächst brauchst du die Formel für das Kegelvolumen:

V = 1/3πr²h = f(r,h)

eine der Größen r oder h müssen ersetzt werden, das geht mit dem Pythagoras: die Kegelseite ist R, also ist r² = R² – h²

eingesetzt in die Volumenformel wird

V = 1/3π(R² – h²)h = f(h)

jetzt kannst du in üblicher Weise den Extremwert berechnen.

von

Darf ich kurz mal fragen für was das f  in der Kegelvolumengleichung steht?

Mit f ist die Funktion gemeint. In dem Falle  nicht f(x) sondern f(r,h)

Ich bin mir nicht sicher aber ist dann   
f(h)= R^2-h^3  ?

so wie bei y = f(x) ist , ist bei dieser Funktion V = f(h)

du musst also V nach h differenzieren.

Wenn du damit Probleme hast, setze doch einfach für V y ein und für h x

wie kommt das R² - h³ zustande? die Ableitung ist R² - 3h²

V= 1/3 * pi * (R² - h²) * h

= 1/3*(36 - h²) * h* pi

=(12- 1/3h²) *h * pi

= 37,7 h -1,047h³

Du hast wahrscheinlich R² – h² nicht in Klammern für r eingesetzt. Sonst einfach ausmultiplizieren.

Jetzt hast du die Zielfunktion, die du ableitest und dann = 0 setzt. Dann löst du nach h auf und bist fast fertig, da du nur noch r ausrechnen musst, indem du in R² – h² = r² einsetzt

Schreibe hier deine Lösung, ich werde sie gerne Kontrollieren 

Irgendwie mach ich was falsch wenn ich nach h auflöse kommt bei mir h^3= 40,841 raus

Meine Ableitung ist V' = 37,7h- 3,141h^2

f(x)=37,7 h -1,047h³

f'(x)= 37,7 -1,047*3h² =0

37,7= 3,141h² |:3,141 

12= h² | Wurzelziehen 

h=3,46 

Nun r berechnen

 r² = R² – h²= 36cm² - 12cm² = 24cm²

√24=r ≈4,9 cm

 

Und jetzt ist man fertig oder?

Nach r und h war gefragt, und das hast du ja gefunden. Allerdings fehlt der Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt. Also noch die 2. Ableitung bilden, sie muss negativ werden. 

2. Ableitung ist doch V´´ = 37,7h - 1,047 * 6h oder?

37,7 h muss auch abgeleitet werden, also  f''(x) = 37,7 - 1,047 * 6h

Ist vieleicht jetzt eine blöde Frage von mir aber wen man bei 37,7 das h mit ableitet warum haben wir das dann in der 1. Ableitung nicht gemacht? Dann hätten wir doch nämlich bei der 2. Ableitung ein negatives Ergebnis.
Klär mich bitte auf

Du hast recht, ich hab geschrieben:

 f(x)=37,7 h -1,047h³

f'(x)= 37,7 -1,047*3h² =0

Und bei der 2.Ableitung nochmal das nicht mehr vorhandene h abgeleitet. f''(x) = -1,047*6h 

Das setzt du gleich 0 

0= -1,047*6h =-1,047*6*3,46= -21,735 

Das Ergebnis ist kleiner als 0, daher ein Hochpunkt. Aufgabe stimmt ! 

Gruß Luis

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x² + y² =r² 

Zielfkt .: V = 3,14  *x² y !!

von 4,8 k
Wenn du uns noch verrätst was mit x und y gemeint ist ?  Eher müsste es doch heißen R² - h² = r² 

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