Zeige, dass aus einer Blattlaus nach drei Wochen 125 Blattläuse geworden sind. Anzahl der Blattläuse ermitteln.

Question

Aufgabe (Textaufgabe Blattläuse ZP 2013}:

Frau Schmidt kauft im Sommer für ihren Garten einen Rosenstrauch, auf dem eine Blattlaus sitzt.

Eine einzelne Blattlaus kann sich selbst vermehren. Pro Woche verfünffacht sich die Anzahl der Blattläuse auf dem Rosenstrauch.

a) Zeige, dass aus einer Blattlaus nach drei Wochen 125 Blattläuse geworden sind. Notiere deine Rechnung.

b) Mit der Funktionsgleichung \( f(x)=5^{x} \) kann man die Anzahl der Blattläuse ermitteln, wenn sie sich vermehren wie oben beschrieben.

1) Gib die Bedeutung der Variable \( x \) in dieser Gleichung an.

2) Berechne den Funktionswert für \( x=0 \) und erläutere das Ergebnis am Beispiel der Blattläuse.

c) Stelle die Vermehrung einer Blattlaus für einen Zeitraum von drei Wochen in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

d) Nach wie vielen Wochen können sich aus einer Blattlaus fast 80000 Blattläuse entwickeln? Notiere deine Rechnung.

e) Frau Schmidt rechnet nach, dass sich im Sommer des nächsten Jahres (also genau ein Jahr später) rund \( 2,22 \cdot 10^{36} \) Blattläuse auf ihrer Rose befinden würden.

1) Überprüfe die Rechnung von Frau Schmidt.

Answer 1

t = 0   5^0 = 1 Blattlaus
t = 1   1 * 5 = 5 Blattläuse ( nach 1 Woche )
t = 2    1 * 5 * 5 = 5^2 = 25 Blattläuse
t = 3    1 * 5 * 5 * 5 = 5^3 = 125 Blattläuse

Dies ist eine Expontentialfunktion ( x ist im Exponent )
f ( x ) = 5^x 

b1) x sind die Anzahl der Wochen
b2) f ( 0 ) = 5^0 = 1  entspricht dem Anfangswert

c)
( 0  | 1 ) , ( 1  | 5 ) , ( 2  | 25 ),  ( 3  | 125 )
Dies sind die Wertepaare
x - Achse 0 .. 3
y -Achse 0 .. 125

d)
f ( x ) = 5^x = 80000
Zur Lösung bedarf es der Logarithmenrechnung
5^x = 80000  | ln ( )
ln ( 5^x ) = ln ( 80000 )
x * ln ( 5 ) = ln ( 80000 )
x = ln ( 80000 ) / ln ( 5 )
x = 7.014

Nach ca 7 Wochen sind 80000 Blattläuse vorhanden.

e.)
f ( 52 ) = 5^52 = 2.22 * 10^36 ( Taschenrechner )