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Hey, ich muss zeigen, dass folgende Relation Äquivalenzrelationen ist und die Äquivalenzklassen bestimmen.

$$X = \mathbb{R}^{2}$$

$$(x,y) \sim  (u,v) \Leftrightarrow x - y = u - v$$

Die Relationseigenschaften beweisen ist gegangen glaube ich:

Reflexiv:

$$(x,y) \sim  (x,y) \Leftrightarrow x - y = x-y$$

Symmetrisch:

$$(x,y) \sim  (u,v) \wedge (u,v) \sim  (x,y) \Leftrightarrow  x - y = u - v \wedge  u - v = x - y$$
(Mit Zahlenbeispiel zur Not)

Transitiv:

$$(x,y) \sim  (u,v) \wedge (u,v) \sim  (a,b)$$
$$x-y = u-v \wedge u-v = a-b \Leftrightarrow x-y = a-b $$

Nur wie ich die Äquivalenzklassen bestimmt habe bin ich mir unsicher.
Ich habe zuerst probiert eine Menge aus den Variablen zu bilden, die die Relationseigenschaften erfüllt, dann könnte ich leicht die Äquivalenzklassen ablesen.

$$ R= \left \{ [(x,y),(u,v)],[(u,v),(x,y)],[(x,y),(x,y)],[(u,v),(u,v)] \right \}$$

Das sollte alle Relationseigenschaften erfüllen.
Nur erstens bin ich mir nicht sicher, ob ich die Tupels so verwenden soll, aufgrund von R² oder die Variablen einzeln anschauen muss, und zweitens habe ich so die rechte Seite der Äquivalenz komplett ignoriert. (x - y = u - v)
Oder ob ich sowieso etwas mit echten Zahlen machen muss.

Die Äquivalenzklassen da abgelesen wären:

$$[(x,y)] = \left \{ (x,y),(u,v) \right \}$$
$$[(u,v)] = \left \{ (x,y),(u,v) \right \}$$

Also die gleiche, würde auch den Satz erfüllen:

$$a \sim b \Rightarrow [a] = [b]$$

Habe ich das so richtig gemacht oder falsch?

von

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

In der Äquivalenklasse [ (a,b) ] sind ja alle Paare von IR^2, die mit (a,b) in der Relation stehen,

in Worten, alle Paare, bei denen die Differenz der Komponenten genauso groß ist

wie bei dem Paar (a,b) Wenn jetzt etwa a-b = c ist, sind alle Paare (x,y) in der Klasse, bei

denen die Differenz eben auch c ist,  für die also gilt x-y= c  das heißt aber y = x-c .

Das erinnert dich vielleicht an eine Geradengleichung  y = m*x+n  hier eben

mit der Steigung 1 und dem y-Achsenabschnitt c.

Grafisch gesehen sind die Äquivalenzklassen also die Punkte auf der Geraden mit der

Steigung 1  , die durch den vorgegeben Punkt geht.    [ Das sieht man ja auch an der Lösung von Yakyu.]

von 152 k

Schöne geometrische Beschreibung mathef :)

Ich hab es aufgezeichnet und es stimmt, die Steigung ist immer 1.
Ist das was Yakyu geschrieben hat eine Geradengleichung eigentlich?

Ja, das ist eine Geradengleichung in vektorieller Form:

der Vektor (x-y ; 0 ) ist der Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden

und der Vektor (1;1) gibt die Richtung an:

1 nach rechts und 1 nach oben.

+1 Punkt

Hi,

die Äquivalenzklassen kannst du zum Beispiel so schreiben:

$$ [(x,y)] := \left \{ \begin{pmatrix} x-y \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \bigg \vert \lambda \in \mathbb{R} \right \}$$

Also ist die Menge aller Restklassen isomorph zu \( \mathbb{R} \)

Gruß

von 23 k

Ist das eine Geradengleichung?

Die Steigung ist

$$(1,1)$$

und der Punkt

$$(x-y,0)$$?

Was ist das Lambda?
Was heißt isomorph?

Ich schaue mir gerade Videos zu Restklassen an, vielleicht verstehe ich es dann besser.

Sollte der Punkt nicht  (0,x-y) sein? Weil der y-Achsenabschnitt ist ja (0,c), oder?

Nein, (x-y,0) passt schon.

Hi,

ja man kann es als Menge von Geraden mit mit derselben Steigung auffassen die sich nur im y-Achsenabschnitt unterscheiden. Die Steigung ist ebenfalls 1.

Die Art der Darstellung nennt man Parameterform. \(\lambda\) ist hierbei der Parameter.

Isomorphie ist ein schöner Begriff zum Vergleich von mathematischen Strukturen. Falls ihr den Begriff noch nicht hattet kannst du ja gerne mal recherchieren. Was ich dir damit sagen wollte, ist dasselbe was dir Mister in seinem ersten Satz geschrieben hat.

Gruß

Nicht ganz, meine Aussage ist allgemeiner.

Der Grund: Die Struktur von \( \mathbb{R} \) ist unerheblich für seine Identifizierung mit der Menge aller Äquivalenzklassen.

Da hast du vollkommen recht, Danke.
+1 Punkt

die Menge aller Restklassen lässt sich mit \( \mathbb{R} \) identifizieren: Zu jedem \( r \in \mathbb{R} \) gibt es eine Äquivalenzklasse \( [r] \) aller Elemente \( (x, y) \in X \) mit \( x - y = r \).

Schöne Grüße

Mister

von 7,3 k

Danke auch für deine Hilfe.

Deine Lösung schaut sehr anders aus als die anderen Posts hier, ist es eine Vereinfacherung?
Da kommt nichts von wegen Steigung etc. vor...

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