Wie groß ist der verfügbare Deponieraum nach 15 Jahren?

Question

Die Mülldeponie einer Gemeinde hat ein Fassungsvermögen von 357000 m³ . Zum gegenwärtigen Zeitpunkt hat die Gemeinde 2400 Einwohner, von denen jeder 4 m3 Müll pro Jahr deponiert. Die Einwohnerzahl steigt um 440 Einwohner pro Jahr. Die Berechnungen des Umweltgemeinderates ergeben, dass unter diesen Voraussetzungen die Deponie nach etwa 15 Jahren geschlossen werden müsste. Wenn es allerdings gelänge, die Müllproduktion pro Einwohner um 15 Prozent zu drosseln, wie hoch wäre dann der nach 15 Jahren noch verfügbare Deponieraum?

Comments

Die Mülldeponie scheint eine beliebte Umgebung für Mathematikaufgaben zu sein (man beachte "ähnliche Fragen"). :D

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Demnach wissen wir auch wo die Mathematik hingehört

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Vom Duplikat:

Titel: Mülldeponie Summenformel Erklärung

Stichworte: summenformel,wachstum

wie kommt der Antwortgeber bei dieser Aufgabe https://www.mathelounge.de/221198/wie-gross-ist-der-verfugbare-depon… auf 9000? Ich habe seine Antwort auch als Screenshot beigefügt.

Zitat Anfang:

2400 Einwohner, von denen jeder 4 m3 Müll pro Jahr deponiert also
2400*4 = 9600 m3 pro Jahr.
nä. Jahr
(2400+440)*4 =
nächstes Jahr

(2400+2*440)*4 =

dann


(2400+3*440)*4 =

etc bis

(2400+14*440)*4 =

Gesamtsumme des Mülls


2400*4 + (2400+1*440)*4 + (2400+2*440)*4 + (2400+3*440)*4 + .......+ (2400+15*440)*4

4* (  2400 + (2400+1*440)*+ (2400+2*440) + (2400+3*440) + .......+ (2400+15*440)  )

in der Klammer ist eine arithmetische Reihe mit a=2400 d=440 n=16

also mit der Summenformel

4 *  ( 16/2 * ( 2400 + 9000) ) = 364800 also Deponie voll. //hier

Bei Müllreduktion um 15% ist der Faktor nicht mehr 4 sondern 3,4

also Müllaufkommen  3,4 *  ( 16/2 * ( 2400 + 9000) ) = 310080

Statt überzuquellen bleiben also noch 46920m3 frei.

Zitat Ende

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Nachfragen bitte als Kommentar zum Original einstellen.

Answer 1

2400 Einwohner, von denen jeder 4 m3 Müll pro Jahr deponiert also
2400*4 = 9600 m^3 pro Jahr.
nä. Jahr
(2400+440)*4 =
nächstes Jahr

(2400+2*440)*4 =

dann

(2400+3*440)*4 =

etc bis

(2400+14*440)*4 =

Gesamtsumme des Mülls

2400*4 + (2400+1*440)*4 + (2400+2*440)*4 + (2400+3*440)*4 + .......+ (2400+15*440)*4

4* (   2400 + (2400+1*440)*+ (2400+2*440) + (2400+3*440) + .......+ (2400+15*440)  )

in der Klammer ist eine arithmetische Reihe mit a=2400 d=440 n=16

also mit der Summenformel

4 *  ( 16/2 * ( 2400 + 9000) ) = 364800 also Deponie voll.

Bei Müllreduktion um 15% ist der Faktor nicht mehr 4 sondern 3,4 

also Müllaufkommen   3,4 *  ( 16/2 * ( 2400 + 9000) ) = 310080 

Statt überzuquellen bleiben also noch 46920m³ frei.

Comments

Hier eine Reaktion auf deine Antwort: https://www.mathelounge.de/555676/mulldeponie-summenformel-erklarung

Fragen kann man wohl zusammenfügen(?)

Answer 2

Einwohnerentwicklung
e ( t ) = 2400 + 440 * t
Müllentwicklung
m ( t ) = e ( t ) * 4 = 9600 + 1760 * t
Müll im Jahr 1
m ( 1 ) = 9600 + 1760 * 1 = 11360 m³
Müll im Jahr 15
m ( 15 ) = 9600 + 1760 * 15 = 36000 m³
Aufsummierung der jährlichen Müllmenge
über die arithmetische Reihe
s = ( anfang + ende ) / 2 * 15
s = ( 11360 + 36000 ) / 2 * 15
s = 355200 m³

Für 15 % weniger Müll = 3.4 m³
Müllentwicklung
m ( t ) = e ( t ) * 3.4 = 8160 + 1496 * t
Müll im Jahr 1
m ( 1 ) = 8160 + 1496 * 1 = 9656 m³
Müll im Jahr 15
m ( 15 ) = 8160 + 1496 * 15 = 30600 m³
Aufsummierung der jährlichen Müllmenge
über die arithmetische Reihe
s = ( anfang + ende ) / 2 * 15
s = ( 9656 + 30600 ) / 2 * 15
s = 301920 m³

Differenz
355200 minus 301920 = 53280 m³

Es würden noch 53280 m³ zur Verfügung stehen.

Stimmt nicht ganz mit der Originalantwort überein.

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Bei der einfachsten Antwortvariante kann
man alle obigen Angaben vergessen und einfach
nur von der Müllreduktion ausgehen

357000 * 0.15 = 53550 m³
werden eingespart.