Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Geraden und begründen Sie, dass diese parallel sind. Funktionenschar.

Question

Aufgabe:

5.0 Gegeben ist die Funktionenschar $\mathrm{f}_{2}$ durch die Gleichung

$\mathrm{f}_{a}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{a}^{2} \mathrm{x}^{3}-2 \mathrm{ax}^{2}+3 \mathrm{x} \quad \mathrm{mit} \mathrm{D}_{t_{4}}=\mathbf{R} \text { und } \mathrm{a} \in \mathbf{R}^{*}$

Die Graphen der Funktionen $\mathrm{f}_{4}$, heißen $\mathrm{G}_{\mathrm{f}_{5}}$.

5.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen $\mathrm{f}_{2}$ in Abhängigkeit von a und geben Sie deren Vielfachheiten und geometrische Bedeutung an.

5.2 Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte der Graphen $\mathrm{G}_{\mathrm{f}}$, und gehen Sie in einer Fallunterscheidung auf deren Art in Abhängigkeit von a ein.

5.3 Durch die Punkte $P_{1}\left(\frac{1}{a} ; \frac{4}{3 a}\right)$ und $\mathrm{P}_{2}\left(\frac{3}{a} ; 0\right)$ der Graphen $\mathrm{G}_{\mathrm{f}_{3}}$ verlaufen die Geraden $\mathrm{g}_{\mathrm{a}}$.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Geraden $\mathrm{g}_{3}$ und begründen Sie, dass diese zueinander parallel sind.

5.4.0 $\operatorname{Im}$ Folgenden gilt $a \in \mathbb{R}$ '.

Die Graphen $\mathrm{G}_{\mathrm{t}_{3}}$ schließen mit der Abszissenachse im ersten Quadranten eine Fläche vollständig ein.

5.4.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Inhalt dieser Fläche $\mathrm{A}=\frac{9}{4 \mathrm{a}^{2}} \mathrm{FE}$ gilt.

5.4.2 Bestimmen Sie den Wert für a so, dass der Inhalt dieser Fläche $\mathrm{A}=4 \mathrm{FE}$ beträgt.

Ansatz/Problem:

Meine bisherigen Ergebnisse sind:

5.1 Nst:
X1=0          (einfache Nullstelle)
X2,3= 3/a (doppelte Nst, berührende Nst)

5.2 Ableitungen:
fa'(x)= a²*x²-4ax+3
fa''(x)= a²*x -4a
fa'(x)= 0
XE1= 1/a ; f (1/a)= 4/3a
XE2= 3/a ; f (3/a) = 0

5.3 Hier weiß ich nicht, was ich machen soll.

Answer 1

m = (y1 - y2)/(x1 - x2) = (4/(3a) - 0)/(1/a - 3/a) = - 2/3

Punkt-Steigungs-Form einer Geraden Aufstellen

ga(x) = m * (x - Px) + Py = - 2/3 * (x - 3/a) + 0 = 2/a - 2/3·x

Die Steigung ist immer -2/3 und damit konstant und die Geraden sind parallel.

Comments

Bei 5.4.1 hab ich so angefangen:

∫₀^3a    1/3a²*x³-2ax²+3x

[ 1/3a²*x⁴/4-2a*x³/3+3*x²/2 ]₀^3a      

1/3a²*3a⁴/4-2a*3a³/3+3*3a²/2 -0 =9/4a²

wie macht man jetzt weiter falls es richtig ist?

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Nach 5.4.1 soll dein Ergebnis doch richtig sein. Wo ist dann die Frage?

5.4.2

A = 9/(4·a²) = 4 --> a = 3/4 [a = -3/4 ist keine Lösung]

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Also ist es richtig was ich bei 5.4.1 gemacht habe?

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Ja. Das sieht richtig aus. Habs aber nur kurz überflogen. Es ist immer ein gutes Zeichen wenn man die Kontroll-Lösung herausbekommt die in Arbeiten Angegeben sind.

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Bei 5.4.2 kann ich dir gerade nicht so ganz folgen wie kommt man auf 3/4?

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Probier mal 9/(4·a²) = 4 zu lösen.

Multiplikation mit a² und Division durch 4 sollte dir erstmal helfen. Dann trennt dich nur noch das Radizieren von der Lösung.

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Alles klar. Ich Danke dir für deine Hilfe!

Answer 2

erst mal die Steigung

m = (4/3a  -  0 )  /  ( 1/a  -  3/a )   =  4/3a    /    -2/a     =   4a / -6a   =  -2/3 
also haben alle die gleiche Steigung, sind also parallel.

Geradengleichuing

y=  -2/3 * x  + n    mit  (  3/a  ;  0 9 gibt das 
0  =  -2/3  *   3/a   + n
0 =  -6/3a  +  n    =  -2/a  +  n
also n = 2/a