Aufgabe:
Beweisen Sie: Für \( a>0 \) besitzt eine Funktion \( f_{a} \) genau dann keine Nullstelle, wenn \( a \cdot e>2 \) gilt.
(Hierbei ist e die Euler'sche Zahl)
Lösung: Nullstelle begründen
\( h \) gehört für \( a=-2 \) zur Funktionenschar \( f_{a} \) und ist für alle \( x \in \mathbb{R}^{+} \)definiert. Aus Teilaufgabe a) wissen wir: \( h \) ist monoton steigend für alle \( x>\frac{a}{2}=-1 \); also ist \( h \) monoton steigend auf dem gesamten Definitionsbereich. Da die Funktionswerte von \( h \) somit immer größer werden folgt: \( h \) besitzt höchstens eine Nullstelle.
In Teilaufgabe b) haben wir gezeigt: Alle Funktionen der Schar, für die gilt \( a \cdot e>2 \). also \( a>\frac{2}{\mathrm{e}} \), besitzen keine Nullstellen. Unser \( a \) ist aber negativ, die Ungleichung ist damit nicht erfüllt.
Daraus folgt: Unser \( h \) besitzt eine Nullstelle.
Wir wissen jetzt also: \( h \) besitzt höchstens eine (keine oder eine) Nullstelle; aber wir wissen auch: \( h \) besitzt nicht keine Nullstelle und damit genau eine.
Dass die Nullstelle im Intervall \( ]1; e[ \) liegt, ist schnell gezeigt: \( h(1)=-2<0 \quad \) und \( \quad h(e) \approx 0,465>0 \)
Damit liegt die Nullstelle von \( h \) im Intervall ] \( 1 ; \mathrm{e}[. \)
Meine Rechnung:
\( \begin{aligned} f_{a}(x)=\ln \left(x^{2}\right) &+\frac{a}{x} \\ \ln \left(\frac{a^{2}}{4}\right)+2 &>0 \\ \ln \left(\frac{a^{2}}{4}\right) &>-2 \mid e \\ \frac{a^{2}}{4} &>e^{-2} \mid \cdot 4 \\ a^{2} &>4 \cdot e^{-2} \\ \frac{a^{2}}{e^{2}} &>4 \end{aligned} \)
Wie löst man hier nach x auf?
\( h(x)=\ln \left(x^{2}\right)-\frac{2}{x} \)
\( h(x)=0 \)
\( \ln \left(x^{2}\right)-\frac{2}{x}=0 \)
Wie löse ich nach x auf? Geht das hier überhaupt? Ich muss Nullstellen begründen.
