Wie löst man hier nach x auf? ln(x2) -a/x=0

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Für $a>0$ besitzt eine Funktion $f_{a}$ genau dann keine Nullstelle, wenn $a \cdot e>2$ gilt.

(Hierbei ist e die Euler'sche Zahl)

Lösung: Nullstelle begründen

$h$ gehört für $a=-2$ zur Funktionenschar $f_{a}$ und ist für alle $x \in \mathbb{R}^{+}$definiert. Aus Teilaufgabe a) wissen wir: $h$ ist monoton steigend für alle $x>\frac{a}{2}=-1$; also ist $h$ monoton steigend auf dem gesamten Definitionsbereich. Da die Funktionswerte von $h$ somit immer größer werden folgt: $h$ besitzt höchstens eine Nullstelle.

In Teilaufgabe b) haben wir gezeigt: Alle Funktionen der Schar, für die gilt $a \cdot e>2$. also $a>\frac{2}{\mathrm{e}}$, besitzen keine Nullstellen. Unser $a$ ist aber negativ, die Ungleichung ist damit nicht erfüllt.

Daraus folgt: Unser $h$ besitzt eine Nullstelle.

Wir wissen jetzt also: $h$ besitzt höchstens eine (keine oder eine) Nullstelle; aber wir wissen auch: $h$ besitzt nicht keine Nullstelle und damit genau eine.

Dass die Nullstelle im Intervall $]1; e[$ liegt, ist schnell gezeigt: $h(1)=-2<0 \quad$ und $\quad h(e) \approx 0,465>0$
Damit liegt die Nullstelle von $h$ im Intervall ] $1 ; \mathrm{e}[.$

Meine Rechnung:

$\begin{aligned} f_{a}(x)=\ln \left(x^{2}\right) &+\frac{a}{x} \\ \ln \left(\frac{a^{2}}{4}\right)+2 &>0 \\ \ln \left(\frac{a^{2}}{4}\right) &>-2 \mid e \\ \frac{a^{2}}{4} &>e^{-2} \mid \cdot 4 \\ a^{2} &>4 \cdot e^{-2} \\ \frac{a^{2}}{e^{2}} &>4 \end{aligned}$

Wie löst man hier nach x auf?

$h(x)=\ln \left(x^{2}\right)-\frac{2}{x}$
$h(x)=0$
$\ln \left(x^{2}\right)-\frac{2}{x}=0$

Wie löse ich nach x auf? Geht das hier überhaupt? Ich muss Nullstellen begründen.

Comments

Den Schritt von der 1. auf die 2.Zeile verstehe ich schon nicht
f ( x ) = ln ( x² ) + a / x

Was willst du : Monotonie-Bereiche bestimmen ?
Nullstellen bestimnmen ?

mfg Georg

Answer 1

falls deine Gleichung bestimmt:

Zuerst *x, falls x≠0

x*ln(x²)-2=0

ln(x³)=2

Kommst du nun alleine weiter?

LG

Comments

Ist $x\cdot\ln x^2=\ln x^3$?

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Ja!

ln(b)^x = x*ln(b)

Funktioniert umgekehrt natürlich genauso

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Dann ist auch $2\cdot\ln4=\ln8$?

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Nicht so ganz Simon.

ln ( b^x ) = x * ln ( b )

Desweiteren

4 * ln ( 4² ) = 4 * ln ( 16 ) = 11.09
ln ( 4³ ) = ln ( 64 ) = 4.16

x * ln ( x² ) ≠ ln ( x³ )

Answer 2

Die Aufgabe läßt sich algebraisch nicht lösen.

Es muß ein Näherungsverfahren z.B. das Newton-Verfahren
verwendet werden.

Dies ist dir sicherlich noch nicht bekannt.

Falls das eine Hausaufgabe ist würde es mich interessieren
ob diese im Unterricht besprochen wird und was dazu gesagt wird.

Comments

Stimmt meine Umformung nicht?

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Deine Umformung stimmt, wie dargestellt, nicht

ln(x³)=2

ln ( x³ ) = 2  | e ()
x³ = e²
x = ³ √ e²
x = 22.17

Probe
ln ( x² ) - 2 / x = 0
ln (22.17² ) - 2 / 22.17 = 0
6.2 - 0.09 = 6.11 ≠ 0

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Der Fragetext von " Nullstelle begründen " ist noch nicht angegeben
und heißt wohl " Begründe das es bei a = -2 nur 1 Nullstelle gibt und diese
im Intervall [1;e ] liegt. "

Dies ist auch ganz schön kompliziert.

Es wurde nicht gefordert die Nullstelle zu berechnen.
Dies geht wie gesagt mit dem Newton-Verfahren.

In diesem Fall wäre es am besten gewesen du hättest
den kompletten Fragetext eingestellt. Im nachhinein
betrachtet.

Answer 3

zu "...wie löst man nach x auf... geht das...?"  

JA! Seit über 200 Jahren ist die Funktion mit dem Namen LambertW(x) als Umkehrfunktion von  

x * e^x bekannt:  

log(x²)=2/x

log(x)=1/x

x=e^1/x

1=1/x*e^1/x |Substitution: u=1/x und Kehrwertfunktion

u=W(1) |Rücksubstitution Kehrwert

x=1/W(1) = 1.76322283435189671022520177695170708...  

Jeder gute Rechner kennt diese Funktion:  

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php