Inverse von Gruppenhomomorphismus

Question

Hi,

ich verstehe nicht was das Inverse von  Φ G->G^' also Φ^-1 ist.

Wenn Φ ein Gruppenhomomorphismus und bijektiv ist. Ist dann  Φ^-1 auch ein Gruppenhomomorphismus.

Wie sieht da ein Beweis für aus?

;)

Comments

Du musst zeigen, dass \( \phi^{-1} \) die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus hat.

Answer 1

Φ^-1 ist ein  Gruppenhomomorphismus, dazu musst du zeigen:

für alle x,y aus G' gilt         
Φ^-1 Φt( x+y ) = Φ^-1 Φt(x) + Φ^-1 Φt(y)

wegen der Surjektivität von Φ gibt

es u und z aus G mit Φ(u)=x und Φ(v)=y  also

ist u = Φ^-1 Φt(x)  und v = Φ^-1 Φt(y)  und damit

u+v = Φ^-1 Φt(x)  + Φ^-1 Φt(y)      #

dann ist aber, da Φ ein Hom. ist   Φ(u+v) = Φ(u) +  Φ(v) = x + y

also ist Φ^-1 Φt(x+y) = u+v ##

mit # und ## hat man Φ^-1 Φt( x+y ) = Φ^-1 Φt(x) + Φ^-1 Φt(y)  q.e.d.