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Hi,

ich verstehe nicht was das Inverse von  Φ G->G' also Φ-1 ist.

Wenn Φ ein Gruppenhomomorphismus und bijektiv ist. Ist dann  Φ-1 auch ein Gruppenhomomorphismus.

Wie sieht da ein Beweis für aus?

Danke schonmal im Voraus ;)

von

Du musst zeigen, dass \( \phi^{-1} \) die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus hat.

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Φ-1 ist ein  Gruppenhomomorphismus, dazu musst du zeigen:

für alle x,y aus G' gilt         
Φ-1 Φt( x+y ) = Φ-1 Φt(x) + Φ-1 Φt(y)

wegen der Surjektivität von Φ gibt

es u und z aus G mit Φ(u)=x und Φ(v)=y  also

ist u = Φ-1 Φt(x)  und v = Φ-1 Φt(y)  und damit

u+v = Φ-1 Φt(x)  + Φ-1 Φt(y)      #

dann ist aber, da Φ ein Hom. ist   Φ(u+v) = Φ(u) +  Φ(v) = x + y

also ist Φ-1 Φt(x+y) = u+v ##

mit # und ## hat man Φ-1 Φt( x+y ) = Φ-1 Φt(x) + Φ-1 Φt(y)  q.e.d.

von 228 k 🚀

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