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Ich habe noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe( im hochgeladenen Bild zu sehen ), und zwar zu der Frage, wo ich die Halbwertszeit bestimmen muss.

Die Exponentialgleichung und nach wie vielen Tagen nur noch 1mg der Substanz vorhanden ist, habe ich bereits berechnet, aber mit der Halbwertszeit komme ich nicht zurecht.


Danke schonmalBild Mathematik

von

3 Antworten

+2 Daumen

f(t) = 15 * (1/5)^{t/7}

f(t) = 1 --> t = 11.78 Tage

f(t) = 1/2 * f(0) --> t = 3.015

von 284 k
+1 Punkt

Die Halbwertszeit wird mit der allgemeinen Formel berechnet: -ln2/LNB

Dafür muss der Funktionstyp f(x)= a*bx vorliegen

von
+1 Punkt

Zunächst einmal wäre zu sagen das es nicht " die
Exponentialgleichung " gibt. Die Basis kann verschieden sein.

3^x = a^z   | z ist gesucht  | ln ( )
ln ( a ^z ) = ln ( 3^x )
z * ln ( a ) = x * ln ( 3 )
z =  x * ln(3) / ln(a)

3^x = a^{x*ln[3]/ln[a]}

Beispiel
a = 4
3^x = 4^{x*ln[3]/ln[4]}
3^x = 4^{0.792*x}

Wenn du dir beide Funktionen einmal zeichnen läßt
f = 3^x
g = 4^{0.792*x}
sind diese deckungsgleich.


z.B. eine vollständige Exponentialgleichung wäre
A0 = Anfangswert
A ( x ) = A0 * a^{b*x}

7 Tage auf ein Fünftel des Anfangswerts bedeutet
A ( 7 ) / A0 = 1/5

1/5 = a^{b*7}
Ich nehme einmal e als Basis

0.2 = e^{b*7}  | ln ( )
ln ( 0.2 ) = b*7
b = ln ( 0.2) / 7
b = -0.23

Probe
1/5 = e^{-0.23*7} = 0.2  | stimmt

A ( x ) = 15 * e^{-0.23*x}

Wann ist nur noch 1 mg vorhanden ?

15 * e^{-0.23*x} = 1
e^{-0.23*x} = 1 / 15  | ln ( )
-0.23 * x = ln ( 1 / 15 )
x = 11.77 Tage

Die Halbwertzeit ist die Zeit nach der nur noch 50 % des
Anfangsmaterials vorhanden ist.  A ( x ) / A0 = 0.5

A ( x ) = A0 * e^{-0.23*x}
A ( x ) / A0 = e^{-0.23*x}
0.5 = e^{-0.23*x}
-0.23 * x = ln ( 0.5 )
x = 3.01 Tage

von 86 k

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