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Aufgabe:

Eln radioaktives Präparat zerfällt so, dass die vorhandene Substanz nach jeweils 7 Tagen auf ein Fünftel zurückgeht. Zu Beginn der Beobachtung sind 15 mg der Substanz vorhanden. Bestimme die Exponentialgleichung, die diesem Zerfall zugrunde liegt. Nach wie viel Tagen ist noch 1 mg der ursprünglichen Substanz vorhanden? Bestimme die Halbwertszeit des Präparats.


Die Exponentialgleichung und nach wie vielen Tagen nur noch 1mg der Substanz vorhanden ist, habe ich bereits berechnet, aber mit der Halbwertszeit komme ich nicht zurecht.

von

3 Antworten

+2 Daumen

f(t) = 15 * (1/5)^{t/7}

f(t) = 1 --> t = 11.78 Tage

f(t) = 1/2 * f(0) --> t = 3.015

von 384 k 🚀
+1 Daumen

Die Halbwertszeit wird mit der allgemeinen Formel berechnet: -ln2/LNB

Dafür muss der Funktionstyp f(x)= a*bx vorliegen

von
+1 Daumen

Zunächst einmal wäre zu sagen das es nicht " die
Exponentialgleichung " gibt. Die Basis kann verschieden sein.

3^x = a^z   | z ist gesucht  | ln ( )
ln ( a ^z ) = ln ( 3^x )
z * ln ( a ) = x * ln ( 3 )
z =  x * ln(3) / ln(a)

3^x = a^{x*ln[3]/ln[a]}

Beispiel
a = 4
3^x = 4^{x*ln[3]/ln[4]}
3^x = 4^{0.792*x}

Wenn du dir beide Funktionen einmal zeichnen läßt
f = 3^x
g = 4^{0.792*x}
sind diese deckungsgleich.


z.B. eine vollständige Exponentialgleichung wäre
A0 = Anfangswert
A ( x ) = A0 * a^{b*x}

7 Tage auf ein Fünftel des Anfangswerts bedeutet
A ( 7 ) / A0 = 1/5

1/5 = a^{b*7}
Ich nehme einmal e als Basis

0.2 = e^{b*7}  | ln ( )
ln ( 0.2 ) = b*7
b = ln ( 0.2) / 7
b = -0.23

Probe
1/5 = e^{-0.23*7} = 0.2  | stimmt

A ( x ) = 15 * e^{-0.23*x}

Wann ist nur noch 1 mg vorhanden ?

15 * e^{-0.23*x} = 1
e^{-0.23*x} = 1 / 15  | ln ( )
-0.23 * x = ln ( 1 / 15 )
x = 11.77 Tage

Die Halbwertzeit ist die Zeit nach der nur noch 50 % des
Anfangsmaterials vorhanden ist.  A ( x ) / A0 = 0.5

A ( x ) = A0 * e^{-0.23*x}
A ( x ) / A0 = e^{-0.23*x}
0.5 = e^{-0.23*x}
-0.23 * x = ln ( 0.5 )
x = 3.01 Tage

von 111 k 🚀

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