Injektiv, surjektiv oder bijektiv

Question

 Entscheiden Sie für jede der folgenden Funktionen, welche der Eigenschaften Injektivität, Surjektivität, Bijektivität sie besitzt:

1. a)  Die Funktion s : N → N, die jeder natürlichen Zahl die Anzahl der Stellen ihrer Darstellung im Zehnersystem zuordnet (z. B. s(2) = 1, s(0) = 0, s(264) = 3, s (72173) = 5).

2. b)  Die Funktion q : N → N, die jeder natürlichen Zahl ihre Quersumme im Zehnersystem zuordnet (z. B. q(16) = 7, q(10000) = 1, q(0) = 0, q(42) = 6).

3. c)  Die Funktion f :Z→Z,k ↦ 4k3−k.
   Tipp: Verschaffen Sie sich mit einer Wertetabelle etwas Überblick.

4. d)  Die Funktion g : R→R,x ↦ 4x3−x. 

   Wie kann ich das zeigen? 

Answer 1

1. a)  Die Funktion s : N → N, die jeder natürlichen Zahl die Anzahl der Stellen ihrer Darstellung im Zehnersystem zuordnet (z. B. s(2) = 1, s(0) = 0, s(264) = 3, s (72173) = 5).

nicht injektiv, da z.B. 12 und 13 beiden die 2 zugeordnet wird aber surjektiv, jede nat. Zahl als Ergebnis rauskommen.

2. b)  Die Funktion q : N → N, die jeder natürlichen Zahl ihre Quersumme im Zehnersystem zuordnet (z. B. q(16) = 7, q(10000) = 1, q(0) = 0, q(42) = 6).

nicht injektiv, weil z.B 13 und 31 die gleiche Q-summe haben. surjektiv, denn wenn die Zahl ganz lang ist 111111 kann jede Zahl als Quersumme rauskommen

3. c)  Die Funktion f :Z→Z,k ↦ 4k3−k.
   Tipp: Verschaffen Sie sich mit einer Wertetabelle etwas Überblick.

2 kommt nie als Ergebnis raus, also nicht surjektiv aber injektiv, weil nie zwei gleiche Werte zugeordnet werden

4. d)  Die Funktion g : R→R,x ↦ 4x3−x.
   

für x=o und für x=1/2 kommt 0 heraus, also nicht inj. aber surjektiv, weil für x gegen - unendlich auch y gegen - unendlich und für x gegen -unendlich auch y gegen unendlich

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