schön das du die allgemeine Vorgehensweise kennst. Hier musst du diese im grunde nur auf diesen Fall anwenden.
Es handelt sich bei der besagten Funktion um die Cantorsche Paarungsfunktion. Ihre Bijektivität ist sehr interessant, da man mit ihr explizit zeigt, dass die Menge \(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \) abzählbar ist.
Ihre Wohldefiniertheit hat dir ja schon Lu's Kommentar offenbart.
Wenn du die Injektivität zeigen möchtest, musst du zeigen,
dass für \( (a,b), (c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) mit \(a \neq c \vee b \neq d \) stets \(f(a,b) \neq f(c,d) \) gilt.
Hinweis: Hier brauchst du eigentlich nur die Fälle \( a+b = c +d \) und o.B.d.A \(a+b < c+d \) zu betrachten.
Für die Surjektivität musst du nun zeigen, dass es \( \forall m \in \mathbb{N} \) ein Tupel \( (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) existiert, so dass \( f(a,b) = m \) gilt.
Hier kannst du mit der Substitution \( a+b = n \) arbeiten und den kleinen Gauß verwenden um korrekt abzuschätzen.
Eine Umkehrfunktion gibt es im übrigen auch, diese ist aber nicht sofort ersichtlich.
Gruß
