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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)2 ;x∈ℝ ; a∈ℝ. Die Graphen sind Ka

Untersuchen Sie durch schriftliche Rechnung die Kurvenschar Ka auf Schnittpunkte mit der x- und y- Achse sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte.

Geben Sie die Ortskurve aller Wendepunkte an.


Die Dreiecke PLW sind wie folgt festgelegt:

-   P ist ein Punkt auf K-2 mit (5/3) ≤ x ≤ 5

-   L ist der Fußpunkt des Lotes von P auf die x- Achse

-   W ist der Wendepunkt von K-2

Ermitteln Sie, für welchen Wert von x der Inhalt des Dreiecks ein absolutes Maximum annimmt und geben Sie diesen größten Flächeninhalt an.


Die Funktionen ga sind definiert mit y = ga (x) = c/fa (x) ; c = konstant

Ermitteln Sie den Definitionsbereich von ga .

Weisen Sie nach, dass die Funktion g-2 für x≠0 genau einen lokalen Extrempunkt besitzt.

Für welches c (c ∈ ℝ) gilt: Der Tiefpunkt von g-2 ist T ((10/3)  /1


((?/?) sind die Brüche:))



Problem/Ansatz:

Schnittpunkt mit y -Achse

f(0)= -0,1 (0-3+a)(0+2+a)2

y= (-(a+2)2 (a-3) /10)

von
y= (-(a+2)^2 (a-3) /10)

Dieses Ergebnis ist schon mal richtig.

3 Antworten

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f "(x)=-1/5(3x+a+1)

Wendepunkte für a=-3x-1

Dies in Ausgangsgleichung eingesetzt und umgeformt:

w(x)=1/5(1+2x)3 Gleichung der Orstkurve aller Wendepunkte.  

von 62 k

Danke schonmal für die Antwort aber ich bräuchte für den Rest auch noch die Lösungen um das ganze zu vergleichen. :)

LG Benito

Ich habe ein anderes Ergebnis für die Ortskurve, nämlich eine zur x-Achse parallele Gerade:

w(x)=0,926

wie kommen sie auf die gerade

Mit Hilfe von desmos. Wenn ich den Parameter a verändere, wird die Kurve in x-Richtung verschoben, ohne ihre Form zu ändern.

f "(x)=-1/5(3x+a+3) müsste richtig sein.

Hier mit ein wenig mehr Zwischenschritten:

Nach dem Ausmultiplizieren:

f(x)=- x3/10 + a·x2/10 - x2/10 + a2·x/10 - 3·a·x/5 + 4·x/5 - a3/10 + 7·a2/10 - 8·a/5 + 6/5

davon die zweite Ableitung

f "(x)=-3/5x+a/5-1/5

Diese =0 gesetzt und nach a aufgelöst:

a=3x+1

Dies in die Ausgangsgleichung eingesetzt und Zusammengefasst:

0,2(1-2x)3 Das ist der Term der Ortslinienfunktion.

Ich habe mich vertippt, Entschuldigung.

Mit wolframalpha habe ich für die 2. Ableitung gefunden:

f"(x)=-1/5(3x+3a+1)

Leider ist deine Lösung falsch, Roland. 

Das möchte ich bezweifeln.

Übrigens ist deine zweite Ableitung falsch:

"Mit wolframalpha habe ich für die 2. Ableitung gefunden:
f"(x)=-1/5(3x+3a+1)"

Ist ja nicht böse gemeint.

Ich habe die Klammern im Funktionsterm nicht ausmultipliziert, sondern mit Produkt und Kettenregel gerechnet. Vielleicht ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen.

Habe meinen Fehler inzwischen (schon im Funktionsterm) gefunden. Danke für den Hinweis.

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Die Schnittpunkte mit der x-Achse findest du, indem du jede Klammer null setzt, da beide Klammern multipliziert werden und ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

N1(3-a|0) , N2(-2-a|0). Dabei ist -2-a eine doppelte Nullstelle, so dass hier wahrscheinlich ein Extremum vorliegt.

Für die Extrema brauchst du die 1. Ableitung, die du mit der Produktregel und der Kettenregel bildest.

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Ich habe auf dem Papier nachgerechnet und erhalte folgende Ergebnisse:

f(x)=-0,1(x-3+a)(x+2+a)²

f'(x)=-0,1(x+2+a)(3x-4+3a)  mit Produkt- und Kettenregel

f''(x)=-0,1(6x+2+6a)

xW=-1/3-a

xW in f(x) eingesetzt: yW=25/27=\(0,\overline{925}\)

Die Ortskurve der Wendepunkte wird durch y=25/27 beschrieben.

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Zum Dreieck PLW:

a=-2

f(x)= -0,1 (x-5)x²

Sieh dir einmal die Kurve K-2 an. (Dafür bieten sich kostenlose Funktionsplotter an. Ich bevorzuge desmos.com, andere schwören auf GeoGebra. Beide sind kostenlos und ohne Werbung.)


Die Nullstellen liegen bei (0|0) und (5|0). Der Wendepunkt liegt bei W(4/3 | 88/135).

Rechts vom Wendepunkt liegt der variable Punkt P(x|f(x)) auf der Kurve. Der Punkt L(x|0) hat die gleiche x-Koordinate wie P und liegt auf der x-Achse.

Nun soll der Flächeninhalt des Dreiecks maximal werden. Dazu brauchen wir den Flächeninhalt.

Als Grundseite nehme ich die Strecke g=PL=f(x), als Höhe die Differenz h=x-xW .

A=0.5·g·h

A=0.5·f(x)·(x-xW)

A(x)=-0.05·(x-5)x²·(x-4/3)

Von dieser Funktion muss nun das Maximum bestimmt werden. (Ich hoffe, mich nicht verrechnet zu haben.)

Ich habe das einmal graphisch untersucht. Danach liegt der gesuchte x-Wert bei 3,894 und der maximale Flächeninhalt bei 2,147 Flächeneinheiten.

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Nun noch zu g(x):

Die Definitionslücken von g sind die Nullstellen von f.

Wie der Nachweis für das Minimum erfolgen soll, kann ich nur vermuten. Eventuell musst du die Kurve zwischen den Polstellen bei x=0 und x=5 untersuchen. In diesem Intervall verläuft die Kurve oberhalb der x-Achse und kommt und geht von +∞. Dann muss noch gezeigt werden, dass außerhalb dieses Intervalls kein lokales Extremum mehr auftritt.

von

Guck dir die Kurve mal mit desmos an. Dann siehst du, wie sich der Parameter a auswirkt. Hier ist a=-1.5:


Das habe ich verstanden nur wie es sich mit der 2 Aufgabe also dem Flächeninhalt und den Punkten auf sich hat bin ich ratlos. Auch bei dem letzten Punkt bin ich absolut hilflos.

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Hallo,

f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2

Schnittpunkte mit der x- Achse :  y=0

-0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2 =0 |:( -0.1)

(x-3+a)(x+2+a)^2 =0

Satz vom Nullprodukt:

a) x-3+a =0

x=3-a

b)(x+2+a)^2 =0 | √(..)

x+2+a =0

x1.2= -2-a

S1 (3-a/0)

S2(-2-a/0)

Schnittpunkte mit der y- Achse :  x=0

f(x)= -0,1 (x-3+a)(x+2+a)^2

f(x)= -0,1 (-3+a)(2+a)^2

f(x)=  (0.3 - a*0.1)(2+a)^2

f(x)=  (0.3 - a*0.1) ((4 +4a +a^2)

f(x)= -a^3/10 -a^2/10 + (4/5) a  +6/5

von 90 k

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