Steckbriefaufgabe: 4.grades

Question

Der Graph einer Funktion 4. Grades berührt die x-achse bei x-2 und hat im koordinatenursprung  einen Wendepunkt.  Die wendeTangente hat die Steigung 1.

Comments

Auf welche Bedingungen kommst du denn inzwischen selbst?

Meinst du

Funktion 4. Grades berührt die x-achse bei x= -2  ?

Bequemer Ansatz könnte damit sein.

f(x) = a ( x+2)^2 ( bx^2 + cx + d) 

Wegen W(0,0) folgt sofort. 4ad= 0. D.h. a oder d=0. a sollte nicht 0 sein. Daher d=0.

f(x) = a ( x+2)^2 ( bx^2 + cx) 

Alternativ:

Beginne mit dem Wendepunkt in (0,0).

Ansatz: y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx  

Answer 1

Der Graph einer Funktion 4. Grades berührt die x-achse bei x-2 und hat im koordinatenursprung  einen Wendepunkt.  Die wendeTangente hat die Steigung 1.

f(2)=0  weggen Punkt (2/0) auf der x-Achse
 und f ' (2) = 0 wegen "berührt", d.h. x-Achse ist Tangente)
f(0)=0 wegen Ursprung
f ' '(0) =0 wegen "wendepunkt
f ' (0) = 1  Steigung der Wendetang.

Comments

Ich brauche die funktionsgleihung fur die aufgabe

Answer 2

Für Steckbriefaufgaben finde ich die Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

recht nützlich. Aufstellen solltest du es zwar selber aber sie hilft dir gut zu kontrollieren. Man gibt dort die Bedingungen ein und er gibt dir die Gleichungen und die Funktion an.

Der Graph einer Funktion 4. Grades berührt die x-achse bei x = 2 

f(2) = 0 oder sollte das bei dir im text x = -2 lauten? das ist unklar
f'(2) = 0

und hat im koordinatenursprung 

f(0) = 0

einen Wendepunkt.

f''(0) = 0

Die Wendetangente hat die Steigung 1.

f'(0) = 1

Das ergibt die Bedingungen

f(2) = 0
f'(2) = 0
f(0) = 0
f''(0) = 0
f'(0) = 1

Man kommt auf die Gleichungen

16a + 8b + 4c + 2d + e = 0
32a + 12b + 4c + d = 0
e = 0
2c = 0
d = 1

Und damit nach dem Lösen auf die Funktion

f(x) = 0,25·x^4 - 0,75·x^3 + x

Answer 3

Der Graph einer Funktion 4. Grades berührt die x-Achse bei \(x=-2\) (War nicht eindeutig) und hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt. Die Wendetangente hat die Steigung \(m =1\)

...berührt die x-Achse bei \(x=-2\): doppelte Nullstelle.

...im Koordinatenursprung ein Wendepunkt: W \((0|0)\)

Weiter mit der Nullstellenform :

\(f(x)= ax(x+2)^2(x-N)=a(x+2)^2(x^2-Nx)\\=a(x^2+4x+4)(x^2-Nx)\\=a(x^4-Nx^3+4x^3-4Nx^2+4x^2-4Nx)\)

\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2+12x^2-8Nx+8x-4N)\)

\(f''(x)=a(12x^2-6Nx+24x-8N+8)\)

\(f''(0)=a(-8N+8)=0\)

\(N=1\)

Die Wendetangente hat die Steigung \(m =1\)

\(f'(x)=a(4x^3+9x^2-4)\)

\(f'(0)=-4a=1\)

\(a=-0,25\)

\(f(x)= -0,25x(x+2)^2(x-1)\)

Answer 4

Irgendwas

Gefragt 5 Mai 2015 von Gast

Hm... schauen wir mal:

Der Graph einer [ganzrationalen] Funktion 4. Grades berührt die x-Achse bei x-2 und hat im Ursprung einen Wendepunkt. Die Wendetangente hat die Steigung 1.

(Korrekturen sind grün hervorgehoben, verbleibende Fehler in rot.)

Der Graph einer [ganzrationalen] Funktion 4. Grades (...)

Aha, wir benötigen vier plus eins gleich 5 Bedingungen, um auf eine eindeutige Lösung hoffen zu können.

(...) berührt die x-Achse bei x-2...

Das sind schon mal zwei Bedingungen, bleiben also noch drei. Zwei stecken in

...und hat im Ursprung einen Wendepunkt. (...)

und eine weitere in

(...) Die Wendetangente hat die Steigung 1.

Es ist sehr gut, dass wir diesen schwierigen Fall nach über zehn Jahren endlich richtig beleuchten konnten und so das sehr genau beschriebene Anliegen von Gast

Ich brauche die funktionsgleihung fur die aufgabe
^{Kommentiert 5 Mai 2015 von Gast}

auf eine angemessenere Ebene heben konnten.

Wir bedanken uns für Ihre Aufmerksamkeit!