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x^3 -4x -1

Wie geht man hier vor ?

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An den Fragesteller
Haben die Antworten dir weitergeholfen ?

4 Antworten

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Kein Lehrer bis Klasse 10 würde so eine Frage stellen, da hier die einfachen Sonderfall-Lösungen nicht anwendbar sind!

a) selbst ausgedacht?

b) Lehrer will Näherungsverfahren wie Bisektion oder Newton-Verf. oder grafische Lösung

c) Studium: Cardanische Formel wie Mathecoach

d) immergültige PQRST Formel analog zur pq-Formel (kein Schulstoff!)

c) und d) wird unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

mit 64 stelligen Zwischenergebnissen vorgerechnet.

Interessant, dass c) und d) identisch sind (mal über acos oder über i):

x2=-0.2541016883650524121297778...=- 4*sqrt(3)·SIN(ASIN(3·sqrt(3)/16)/3)/3

=-(4 sin(1/3 atan(3 sqrt(3/229))))/sqrt(3)

x3=2.114907541476755798515614...=((9+i sqrt(687))/2)^{1/3}/3^{2/3}+4/(3/2 (9+i * sqrt(687)))^{1/3}=4*sqrt(3)·SIN(ASIN(3·sqrt(3)/16)/3+Pi/3)/3

mit i=sqrt(-1)=(-1)^{1/2}

usw. ...


Bei Wikipedia unter Kubische Gleichung gibt's noch die Reduktion per Substitution, was jedoch wie bei c) zig Fallunterscheidungen nach sich zieht.
von 5,6 k

Da meine exakte PQRST-Formel (analog zur pq-Formel ohne komplizierte Fallunterscheidungen )  immer wieder ignoriert (oder nicht gefunden) wird, hier der LINK:

http://www.lamprechts.de/gerd/Bilder/QuadratischeGleichung_p-q-Formel_KubischeGleichung_PQRST-Formel.png  

Da nur Wurzeln vorkommen (2. & 3.) -> ist sie "algebraisch".

Einziger Nachteil: komplexe Zwischenergebnisse

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Ich glaub ich muss hier mal frischen Wind einführen.


f ( x ) := x ³ - 4 x - 1  ( 1 )


Als Erstes musst du immer mit der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) beginnen - eine positive Wurzel ist uns sicher. Negativ wissen wir nicht so genau.

Nun lernt man in der Algebravorlesung, dass folgende Alternative gilt: Entweder ein kubistisches Polynom ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab.

Für diesen RLF nun gilt ein sensationelles Teorem, von dem mich bei der Konkurrenz " Lycos " der User " ribek " in Kenntnis setzte. Bis sich der User " Affensupport " meldete, ich sei ein " Troll " Besagtes Teorem stamme von Gauß - das wisse die Welt - ich komme darauf zurück.


https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen


Den Moment der Erleuchtung bezeichnet das japanische ===> zen als ===> Satori . Es kommen übwerhaupt nur ( +/- 1 ) in Frage.

Ich spicke immer bei Wolfram; beginnen wir mit der positiven wurzel x3 , die ja von der CV vorher gesagt wurde:


x3 = 2.115    ( 2 )


Ehrlich gesagt, ich frage mich, warum man Schüler mit dem schwerfälligen Räderwerk der Polynomdivision ( PD ) quält. ( Nicht einmal das Internet kennt eine PD durch Gleitkommalösungen ! )

Ich selbst löse das mit ganz gewöhnlichen Unbekannten - und ihr musstet sicher schon schwerere Gleichungssysteme knacken. Ich fand es einfach witzig; und deshalb nannte ich meine Entdeckung die " erste und zweite Alfonsinische pq-Formel " ( AF ) nach der Romanfigur " König Alfons 3/4 XII von Lummerland "

Die AF sind ein Kind jenes geschmähten Stiefkindes, des Satzes von Vieta. Was suchen wir mit dieser PD eigentlich? Das quadratische Faktorpolynom g von f in ( 1 )


f ( x ) = g ( x ) ( x - x3 )   ( 3 )


Wenn du einmal die Perspektive aus dem " Ei des Vieta " zulässt, mutet dich das Vertraute plötzlich fremdartig an; der Vieta von  g ( x )


g ( x ) =: x ² - p x + q  ( 4a )

p = x1 + x2  ( 4b )

q = x1 x2  ( 4c )


Auch für f in ( 1;3 ) gibt es so einen Vieta; er ist vielleicht nicht so geläufig:


f ( x ) =: x ³ + a2 x ² + a1 x + a0  ( 5a )

a2 = - ( x1 + x2 + x3 )  ( 5b )

a0 = - x1 x2 x3  ( 5c )


Und jetzt musst du nur einmal den Rückwärtsgang einlegen. Setze ( 4b ) ein in ( 5b ) so wie ( 4c ) in ( 5c )


a2 = - ( p + x3 ) = 0 ===> p = ( - 2.115 )  ( 6a )

a0 = - q x3 = ( - 1 )  q = .4728   ( 6b )

x ² - p x + q = ( 6c )

= x ² + 2.115 x + .4728 = 0  ( 6d )


( 6ab ) sind die beiden AF ; als LGS in den beiden Unbekannten p und q sind sie sogar entkoppelt. Ein weiterer Vorteil im Vergleich zu PD : Der Koeffizient a1 taucht überhaupt nicht auf. Weiter wie üblich mit Mitternachtsformel


x1;2 = 1.058 [ - 1 -/+ sqr ( 1 - .4728 / 1.058 ² ) = ( 7a )

= 1.058 [ - 1 -/+ sqr ( .5776 ) ] ( 7b )

x1 = - 1.058 * .1.760 = ( - 1.862 )   ( 7c ) ( vgl. Wolfram )

x2 = - 1.058 ( 1 - .760 ) = ( - .2539 )  ( 7d )( vgl. Wolfram )


Nummerisch ist mein Vorgehen korrekt; der Faktor " p/2 " trägt die " Größenordnung " des Ergebnisses und wird ausgeklammert. p/2 könnte ohne Weiteres eine Trillion sein - egal.

Zu mindest wenn q > 0 wie hier, kann die Wurzel nur zwischen Null und Eins liegen - das verschafft uns von Vorn herein einen viel besseren Überblick. Je näher sie bei Eins liegt, desto schlechter ist unsere Gleichung ===> konditioniert. Insbesondere in ( 7d ) macht sich der Rundungsfehler auf Grund der ===> Differenzen aus ===> großen Zahlen schon geltend.

Zum Abschluss noch eine Bemerkung zu Wiki , der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) der ja am Anfang unserer Betrachtungen stand, gehe auf Gauß zurück.

Stell dir einmal vor, eine quadratische Gleichung habe rationale Wurzeln


x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q   ( 8a )


Mir blieb es vorbehalten, für diesen Fall die Aussage des SRN beträchtlich zu verschärfen:


p1 p2 = a0   ( 8b )

q1 q2 = a2  ( 8c )


Effektiv stellt sich heraus, dass ( 8bc ) gegenüber der Vieta-Aussage ( 4c ) eine beträchtliche Verschärfung dar stellt. In ( 4c ) findest du noch zu jedem vorgegebenen x1 ein eindeutiges x2 - in ( 8bc )nicht mehr, weil hier Teilbarkeit beachtet werden muss. ja in Zahl reichen Fällen ermöglicht ( 8bc ) sogar ein ( systematisches ) Erraten der Lösung.

Alles dies hätte auch Gauß gefunden, wäre er nur der Entdecker des SRN gewesen - daran ist überhaupt nicht zu zweifeln. Und Gauß ist Kult; seine Ergebnisse muss jeder Lehrer kennen.

Nichts. In dem Portal " Lycos " outen sich ja auch mehrere Pädagogen. Auf meine direkten Kommentare erhielt ich nie eine Antwort; und sie selber gaben ihr ( neu erworbenes? ) Wissen um den SRN in keinem Fall an die Community weiter. Es ist zu vermuten, dass sie auch gegenüber ihren Klassen Stillschweigen bewahren ...

Das erinnert so bissele an den Witz

" Die Quantenmechanik ist nicht etwa schon deshalb richtig, weil das der Herr Professor in der Prüfung zu hören wünscht ... "

( Der Herr Lehrer wünscht nichts zuhören über den SRN ( ! ) )

Von Schülern kam vereinzelt

" Hältst du uns für Doof? Bildest du dir etwa ein, wir wüsten nicht, dass deine Vorschläge hundert Mal besser sind als das, was wir im Unterricht benutzen dürfen?

Wenn wir aber etwas benutzen, was unser Lehrer gar nicht kennt, ja gar nicht kennen kann, weil der ENTDECKER JA EIN NETUSER IST , ja dann merkt der doch, dass ich meine Hausaufgaben im Internet abschreibe ... "

( Darfst du. Sag ich immer wieder; in der Ganztagsschule werden sogar die Lhrer selber dafür bezahlt, dass sie dir helfen. Wenn dir deine Eltern helfen dürfen - wieso dann nicht das Internet? )

einzig ein Student hatte Gerüchte weise jene Teilaussage aufgeschnappt, wonach normierte Polynome höchstens ganzzahlige Wurzeln haben können. " Sehr erstaunt " sei sein Assistent gewesen, dass so etwas richtig sein könne ...

Für allgemeine, nicht normierte Polynome, so fuhr er im Brustton tiefster Überzeugung fort, existiere keine analoge Aussage ...

Das alles stinkt doch zum Himmel; Mensch der " Troll " bin doch nicht ich, sondern der anonyme Entdecker, der das als erster in irgendsoein Internetforum geknallt hat. Und jetzt droht das sich zum unkontrollierten Selbstläufer zu entwickeln.

von 1,2 k

Hinweis

Für diesen RLF nun gilt ein sensationelles Teorem

Teorem wird wird mit h geschrieben : Theorem

Dunhast zwar Recht; aber beschränken wir uns hier auf die mathematisch wesentlichen Dinge. Ich würde mich freuen, wenn auch ich durch dich ein bissele klüger würde ...

Ich bewundere deine große erzählerische Kraft die du in deinem
Beitrag  aufzeigst.

Sicherlich literarisch ebenbürtig Leo Tolstois " Krieg und Frieden "
oder dem Jugendbuch von Mark Twain " Tom Sawyer und Huckleberry Finn ".

Leider hatte ich kein Satori-Erlebnis beim Lesen.

Ich wünsche dir alles Gute auf deinem weiteren Lebensweg und immer
eine Handbreit Wasser unter dem Kiel.

+1 Daumen

Algebraisch geht es schon, wird aber in der Schule nicht behandelt.

Jede kubische Gleichung in der allg. Form a*x3 + b*x2 + c*x + d = 0 mit a ≠ 0  kann man über eine lineare Transformation in eine sogenannte reduzierte kubische Gleichung y3 + 3*g*y + q = 0 umformen.

Es gilt: p = 3*a*c - b2 und q = 2*b3 -9*a*b*c + 27*a2*d

In unserem Fall ist a = 1, b = 0, c = -4 und d = -1. Damit ergeben sich p = -12 und q = -27

Um zu sehen, welche Art von Lösungen vorliegen, nutzt man die Diskriminante D = q2 + 4*p3

-> D = (-27)2 + 4*(-12)3 = 729 - 6912 < 0 !

Für D < 0 gibt es für die reduzierte kubische Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen:

y1 = √(-p) *(2*cos(φ/3))

y2 = √(-p) *(2*cos(φ/3 + 2*π/3))

y3 = √(-p) *(2*cos(φ/3 + 4*π/3))

mit φ = arccos( (-q)/(2*√(-p3))

Anschließend muss man noch eine Rücktransformation machen, um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu erhalten:

x1 = (y1 - b)/(3*a)

x2 = (y2 - b)/(3*a)

x3 = (y3 - b)/(3*a)

Ich habe dies exemplarisch für y1 bzw. x1 durchgerechnet und komme auf ein Ergebnis für x1 ≈ 2,1.

von 5,3 k

Das nennt sich Cardanische Formel mit Fall D<0. {was ich mit c) meinte}

Auch im "Taschenbuch der Mathematik" (bronstein semendjajew) gut beschrieben.

0 Daumen

X3 -4x -1 = 0

Hier gibt es keine algebraische Lösung.
Berechnung über z.B. das Newton-Verfahren.

~plot~ x^3 - 4*x - 1 ~plot~

von 112 k 🚀

Hier gibt es keine algebraische Lösung.

Oh, doch !

Und wie lautet die Vorgehensweise dann

"Hier gibt es keine algebraische Lösung. Oh, doch ! "

Keine die normalerweise in der Schule verlangt wird.

In der Schule sucht man entweder eine Nullstelle macht die Polynomdivision oder das Horner Schema. Wenn das fehl schlägt bemüht man ein Näherungsverfahren.

Algebraisch wären die Lösungen

x = - 4·√3·COS(ACOS(- 3·√3/16)/3)/3 ∨
x = 4·√3·SIN(ASIN(3·√3/16)/3 + pi/3)/3 ∨
x = - 4·√3·SIN(ASIN(3·√3/16)/3)/3

Man begnügt sich näherungsweise meist mit

x = -0.2541016883 ∨ x = -1.860805853 ∨ x = 2.114907541

Hilfreiche Taschenrechner haben gleich eine Lösungsformel für Funktionen 3. Grades einprogrammiert.

Es ging mir darum, darauf hinzuweisen, dass der Fachbegriff "algebraisch" von georgborn völlig unsachgemäß gebraucht wurde.

Sollte gemeint sein, dass es keine algebraische Lösungsmethode gibt, so wurde oben schon das Gegenteil dargelegt.

Sollte gemeint sein, dass keine Lösung rational ist, so wäre das richtig; das lässt sich einfach beweisen.

Hingegen sind alle Lösungen algebraisch (das lässt sich allerdings nicht beweisen).

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