0 Daumen
1,1k Aufrufe

Zeigen Sie die folgende Variante der Bernoullischen Ungleichung: Für 0 x 1

und n N0 gilt

(1x)n1 . 1+nx 


Bild Mathematik




Könnte mir das jemand vielleicht erklären? Wäre sehr nett:)



Schöne Grüße

von
Und schöne Grüße an die Heinrich-Heine Universität Düusseldorf, die sich ja auch schon in anderen Zusammenhängen mit "plagiierenden Vorgehensweisen" auseinandergesetzt hat...

2 Antworten

0 Daumen

für \( x \in [0,1] \) und \( n \in \mathbb{N}_0 \) gilt:

$$ (1-x)^n \leq \frac{1}{(1+x)^n} \leq \frac{1}{1+nx} $$

Gruß

von 24 k
0 Daumen

Hi, das beweist man am besten durch Induktion. Der Induktionsanfang ist klar, da gilt
$$ (1) \quad (1-x)^0 = 1 \le \frac{1}{1+0 \cdot x} = 1  $$
Nun ist zu beweisen, das gilt
$$ (2) \quad (1-x)^{n+1} \le \frac{1}{1+(n+1)x} $$
Es gilt wegen der Induktionsvoraussetzung
$$  (3) \quad (1-x)^{n+1} \le \frac{1}{1+nx}(1-x) $$
Die rechte Seite von (3) muss nun kleiner als \( \frac{1}{1+(n+1)x} \) sein, dann ist der Beweis erbracht.
Das ist aber äquivalent zu
$$ (4) \left[ 1 + (n+1)x \right] (1-x) \le 1 +nx  $$
Die Ungleichung (4) gilt was man durch ausmultiplizieren nachrechnen kann und wegen \( 1 + nx \ge 0 \) Damit ist der Bweis fertig.

von 33 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community