0 Daumen
1k Aufrufe

Aufgabe:

Für welche n ∈ N gelten die folgenden Ungleichungen?

\( \prod \limits_{k=1}^{n} k^{k}<n^{\frac{n(n+1)}{2}} \)

Avatar von

3 Antworten

+5 Daumen

Hi

hier mal eine alternative Lösung.

für \( n \geq 2\) beachte:

$$ \Large \prod_{k=1}^n k^k < \prod_{k=1}^nn^k = n^{\sum \limits_{k=1}^n k} = n^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

Gruß

Avatar von 23 k
+1 Daumen

Hi, die zu beweisende Ungleichung gilt sicher nicht für \( n = 1 \) wie man leicht ausrechnet, weil dann gelten müsste \( 1 < 1 \) was ja nicht richtig ist. Für \( n = 2 \) gilt die Ungleichung.
Der Beweis das die Ungleichung für alle \( n \ge 2 \) gilt, wird nun über Induktion über \( n \) geführt. Allerdings logarithmiere ich die Ungleichung zuerst, was  zu folgender Ungleichung führt.
$$ (1) \quad \sum_{k=1}^{n} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) $$
Zu zeigen ist also
$$ (2) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot ln(n+1)  $$
Die linke Seite von (2) ergibt mit der Induktionsvoraussetzung
$$ (3) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) + (n+1)\cdot ln(n+1) $$
$$ < (n+1) \cdot ln(n+1) \left[ \frac{n}{2} + 1 \right] $$ was zu beweisen war.

Avatar von 39 k

habe vergessen zu sagen, der Prof möchte das ohne ln(). Wie würde es dann gehen, ln() ist noch nicht definiert in unserer Vorlesung. Mit Induktionsprinzip möchte er das gemacht haben.

+1 Daumen

Du kannst über vollständige Induktion zeigen, dass es für n >= 2 gilt.

Zeige also zunächst das es für n = 2 gilt.

Zeige danach das es für n + 1 gilt, wenn es auch für n gilt.

Avatar von 477 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community