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! Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:

Bild Mathematik

Dabei ist ∂Δ = [-1,1], [1,i], [i,-1]. Könnte mir jemand hilfen?


von

Wie weit kommst du? Wo genau ist das Problem?

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ii ) ist ganz leicht; wir haben ein Polynom. Auf Grund des Cauchyschen Integralsatzes ( CIS ) muss da Null raus kommen - eine ganze funktion hat keine Singularitäten. Und bei iii) liegt der Pol ja außerhalb des Dreiecks. Bleibt einzig i; die Funktion


f ( z ) ;= z z*   ( 1 )


Die Basis des Dreiecks wird beschrieben durch die parametrisierte Geradenfgleichung


z = t    ;    -1 < = t < = 1    ( 2 )


$ z z* dz = $ t ² dt = 1/3 t ³ | -1 ; + 1 ]  = 2/3     ( 3 )


Der rechte Schenkel ist die Strecke von 1 nach i :


z ( t ) = 1 + ( i - 1 ) t ; 0 < = t < = 1  ( 4a )

z z* = 2 t ² - 2 t + 1  ( 4b )

( dz/dt ) = i - 1   ( 4c )

$ rechter Schenkel = ( i - 1 ) $ ( 2 t ² - 2 t + 1 ) dt   ( 4d )


Bei dem linken Schenkel ist erstens der Realteil zu spiegeln; und zweitens ist sein Beitrag ja abzuziehen, so dass wir insgesamt den doppelten Realteil erhalten:


$ beide Schenkel = - 2 $ ( 2 t ² - 2 t + 1 ) dt = ( 5a )

= - 4/3 + 2 - 2 = - 4/3   ( 5b )


Also insgesamt mit ( 3 ) = ( - 2/3 )   Ein schönes Beispiel, dass Stetigkeit alleine noch nicht hinreicht für Integrierbarkeit

von 1,2 k

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