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Aufgabe:

Sei C([0,1], ℝ) = {f: [0,1] → ℝ : f ist stetig}. Dann sind für n ∈ ℕ\{0} die Funktionen fn : [0,1] → ℝ mit

$$ f_{n}(x):=\left\{\begin{array}{c}0, x \in[0,1] \backslash\left[\frac{1}{2 n+1}, \frac{1}{2 n-1}\right] \\ 2 n((2 n+1) x-1) \quad, \quad x \in\left[\frac{1}{2 n+1}, \frac{1}{2 n}\right] \\ -2 n((2 n-1) x-1) \quad, \quad x \in\left[\frac{1}{2 n}, \frac{1}{2 n-1}\right]\end{array}\right. $$

aus C([0,1], ℝ)

Zeigen Sie: Für alle r ∈ ℕ und beliebige Teilmengen {nk : 1 ≤ k ≤ r} von ℕ\{0} sind die Elemente {fnk : 1 ≤ k ≤ r} linear unabhängig.

Mein Hauptproblem momentan ist, dass ich nicht verstehe, Was die Elemente {fnk : 1 ≤ k ≤ r} sein sollen.


Also, ich habe jetzt mal einige Werte für n eingesetzt und bekomme Funktionen nach diesem Schema:

Die 0 bleibt immer gleich

Für die zweite Teilfunktion gilt:

n=1 : 2(3x-1)

n=2 : 4(5x-1)

n=3 : 6(7x-1)

etc....

Für die dritte Teilfunktion gilt:

n=1 : -2(x-1)

n=2 : -4(3x-1)

n=3 : -6(5x-1)

etc...

Bedeutet es nun für die Menge {fnk : 1 ≤ k ≤ r}, dass bisher r=3 ist und alle oberen Funktionen in der Menge enthalten sind?

Und ich soll nun zeigen, dass diese Funktionen linear unabhängig sind (für alle beliebigen r) ?

von

Zeichne dir mal f1(x), f2(x) ... auf.

Gibt das nicht einfach verschieden breite Zacken?

Mein Hauptproblem momentan ist, dass ich nicht verstehe, Was die Elemente {fnk : 1 ≤ k ≤ r} sein sollen.

Nun musst du Funktionenmengen ansehen, die aus den ersten r (vermuteten) Zacken bestehen.

Ein anderes Problem?

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