Für welche p >= 1 ist fn eine Cauchy Folge bezüglich der p-Norm?

Question

$$Sei\quad C >0\quad und\quad { f }_{ n }:\quad [0,1]\quad \rightarrow \quad R\quad definiert\quad durch:\\ { f }_{ n }(x):=\quad { n }^{ C }\quad ,\quad für\quad x\in [0,\cfrac { 1 }{ n } ]\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 1 }{ { x }^{ C } } \quad ,\quad für\quad x\in (\cfrac { 1 }{ n } ,1]$$

1) Für welche p >= 1 ist fn eine Cauchy Folge bezüglich der p-Norm? 

2) Zeigen Sie: Für p < q lässt sich das C>0 so wählen, dass fn zwar bezüglich der p-Norm eine Cauchy Folge ist, aber nicht bezüglich der q-Norm.

Cauchy Folgen gehören leider echt nicht zu meinen Stärken, wie wende ich die Definition der C.F. auf die der p-Norm an?

$${ \left\| v \right\| }_{ p }:=\quad \sqrt [ p ]{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left| { v }_{ i } \right| }^{ p } } }$$ 

Comments

Du könntest nochmal die Definition der p-Norm für Funktionen (und nicht für Vektoren im Rⁿ) betrachten :).

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Oh mann, das ist schonmal eine erste Fehlerquelle,

Ich bin zwar nicht zuversichtlich, aber ich werds jetzt mal mit dem Integral probieren.