Aufgabe:
Sind die folgenden Funktionen Wahrscheinlichkeitsdichten einer stetigen Zufallsvariablen? Begründen Sie.
(i) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { für } x \leq \frac{1}{2} \\ x-1 & \text { für } \frac{1}{2} \leq x<\frac{3}{2} \\ 0 & \text { für } x>\frac{3}{2}\end{array}\right. \)
(ii) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x} & \text { für } x \geq 0 \\ 0 & \text { für } x<0\end{array}\right. \)
(iii) \( f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)} \)
(iv) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2 \sigma} e^{(-x+\mu) / \sigma} & \text { für } x \geq \mu, \\ \frac{1}{2 \sigma} e^{(x-\mu) / \sigma} & \text { für } x<\mu .\end{array}\right. \)
Dabei seien \( \mu \in \mathbb{R} \) und \( \sigma>0 \)
(v) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { für } x<1 \\ \frac{2+x^{3}}{x^{3}} & \text { für } x \geq 1\end{array}\right. \)
(vi) \( f(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text { für } x<1 \\ \frac{2}{x^{3}} & \text { für } x \geq 1\end{array}\right. \)
