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Durch die Funktiongleichung K(x) = 0,001x³ - 0,18x² + 12,5x + 84 werden die Gesamtkosten eines Betriebes beschrieben. Die Erlösfunktion hat die Gleichung E(x) = 6x

a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion

b) Ermitteln Sie die Nutzenschwelle und Nutzengrenze (Hilfestellung: Bei x = - 10 liegt ein "mathematischer" Schnittpunkt der Funktion K(x9 und E(x)

c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und das Gewinnmaximum

d) In welchem Intervall steigen die Kosten progressiv und in welchen degressiv?

e) Stellen Sie die Funktionsgleichung für die variablen Stückkosten auf und ermitteln Sie das Betriebsminimum!

f) Stellen Sie die Funktionen E(x), K(x) und G(x) graphisch dar. Benutzen Sie dafür EIN Koordiantensystem und beschränken Sie sich auf den Definitionsbereich D = [0;150]
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K(x) = 0.001·x^3 - 0.18·x^2 + 12.5·x + 84

E(x) = 6·x

a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion

G(x) = E(x) - K(x) = 6·x - (0.001·x^3 - 0.18·x^2 + 12.5·x + 84) = - 0.001·x^3 + 0.18·x^2 - 6.5·x - 84

b) Ermitteln Sie die Nutzenschwelle und Nutzengrenze (Hilfestellung: Bei x = - 10 liegt ein "mathematischer" Schnittpunkt der Funktion K(x) und E(x)

G(x) = 0

( - 1/1000x^3  +   9/50x^2  -  13/2x  - 84) : (x + 10)  =  -1/1000x^2 + 19/100x - 42/5   
- 1/1000x^3  -  1/100x^2
——————————
19/100x^2  -  13/2x  - 84                 
19/100x^2  + 19/10x                       
——————————
- 42/5x  - 84                             
- 42/5x  - 84                             
——————————
0

-1/1000x^2 + 19/100x - 42/5 = 0

Lösen mit der Mitternachtsformel ergibt

x = 120 ∨ x = 70

Gewinnschwelle bei 70 und Gewinngrenze bei 120 ME

c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und das Gewinnmaximum

G'(x) = 0
- 0.003·x^2 + 0.36·x - 6.5 = 0

Lösen mit Mitternachtsformel ergibt

x = 97.86 ∨ x = 22.14

G(97.86) = 66.53

Wir haben den maximalen Gewinn von 66.53 GE bei einer Ausbringungsmenge von 97.86 ME

d) In welchem Intervall steigen die Kosten progressiv und in welchen degressiv?

Progressiv 

K''(x) > 0 
0.006·x - 0.36 > 0
x > 60

Degressiv

K''(x) < 0
0.006·x - 0.36 < 0
x < 60

e) Stellen Sie die Funktionsgleichung für die variablen Stückkosten auf und ermitteln Sie das Betriebsminimum!

kv(x) = 0.001·x^2 - 0.18·x + 12.5

kv'(x) = 0
0.002·x - 0.18 = 0
x = 90 ME

kv(90) = 4.4 GE

f) Stellen Sie die Funktionen E(x), K(x) und G(x) graphisch dar. Benutzen Sie dafür EIN Koordiantensystem und beschränken Sie sich auf den Deffinitionsbereich D = [0;150]

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