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Sehr geehrte Menschen, ich bin frustriert!

Lineare Algebra, Basisisomorphismen,... :
Sei A (bezüglich irgendeiner Basis) eine Darstellungsmatrix von \(\lambda\cdot Id_V\). - Dann ist A ist bezüglich jeder Basis von V gleich.

Die andere Richtung wäre noch viel interessanter:
https://www.mathelounge.de/236318/gegebenes-diagr-beweis-bestimmtem-vektorr-vektoren-gewisser


Beweis? Ich komme nicht drauf. -

von

1 Antwort

+1 Daumen

Hi,

das ist relativ offensichtlich wenn man sich ein kommutatives Diagramm dazu zeichnet. Die Identitätsabbildung ist unabhängig von der Wahl der Basis. Aber noch mal kurz und knapp:

Seien \(B'\) und \(B\) zwei verschiedene Basen von \(V\),

\(A = \lambda \cdot Id_V^B\) bezüglich \(B\),

\(\phi: V \to V \) der Basiswechsel von \(B'\) zu \(B\) mit Darstellungsmatrix \(M\).

und \(A'\) die Darstellungsmatrix von \(A\) bezüglich der Basis \(B'\).

Dann gilt: \( A' = \phi^{-1}A \phi= M^{-1}\lambda \cdot Id_V^B M= \lambda M^{-1} M  = \lambda \cdot Id_V^{B'} \)

Gruß

von 24 k

Ok, - Das ist klar soweit und ich war im Grunde schon auf demselben Weg...
Was ist aber jetzt hiermit: Wenn \(f:V\to V\) bezüglich jeder Basis von V dieselbe Darstellungsmatrix hat, dann gibt es ein \(\lambda\), sodass \(f=\lambda ~Id_V\)!?

Du meinst wohl bezüglich der Frage aus dem Link? Hab da was geschrieben.

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