0 Daumen
594 Aufrufe

ich bin mir nicht sicher, ob bei folgender Aufgabe die Darstellungsmatrix stimmt: deg p(x) ≤ n

$$ \mathbb{R}[x]_n \subset \mathbb{R}^{\mathbb{R}} , ~~ \mathbb{R}-VR ~~ mit ~~ \mathbb{R}[x]_n = \lbrace x \mapsto p(x) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j | \alpha_0,...,\alpha_n \in \mathbb{R}} \rbrace $$

mit B = (b0,...,bn) Basis der Monome bj(x) = xj und ζ1,...,ζm ∈ ℝ paarweise verschieden.

$$ f:\mathbb{R}[x]_n \to \mathbb{R}^m , f(p(x))(i) := p(\zeta_i) ,~ i = 1,...,m $$

Nun soll die Darstellungsmatrix ξEB (f) von der Basis B zur Standardbasis E von Km ermittelt werden.

Mein Lösungsvorschlag:

$$ v = p(x) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j} = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j b_j(x)} ~, ~ < b^*_i,v > = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j < b^*_i,(x^j) >} = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j < b^*_i,b_j(x) > } = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j \delta_{ij}} = \alpha_i $$

$$ b_i(v) = \sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j b_i(x^j)} = \alpha_i x^i , ~ f(b_i(v)) = f(\alpha_i x^i) = p(\zeta_i) = f(p(x))(i) , ~  mit ~~ p(\zeta_i) = (\sum_{j = 0}^{n}{\beta_j C_i^j})e_i $$

$$ f(a_j b_j(x)) = a_j f(b_j(x)) = {{e_j} \over \alpha_j} \sum_{i = 1 }^{m}{\zeta_i^j \beta_i} $$Weiters folgt: $$ f(v) = f(\sum_{j = 0}^{n}{b_j ({\sum_{i = 0}^{n}{\alpha_i x^i}})})  = f(\sum_{j = 0}^{n}{\alpha_j x^j}) = p(\zeta_j) = f(p(x))(j)$$

Schlussendlich wird die Darstellungsmatrix ermittelt:

$$ f(v) = \sum_{j = 0}^{n}{v_j f(b_j)} = \sum_{j = 0}^{n}{v_j (\sum_{i = 1}^{m}{\zeta_i^j \beta_i e_i}))} = \sum_{i = 1}^{m}({\sum_{j = 0}^{n}{\zeta_i^j v_j})\beta_j e_j} , ~ , => w \in K^m , ~ w_i = \sum_{j = 0}^{n}{\zeta_i^j v_j} ~, ~ f(v) = w = \sum_{i = 1}^{m}{w_i \beta_i e_i} => \xi_B^E (f) = \zeta_i^j = \begin{pmatrix}  1 & \zeta_2^1 & ... & \zeta_m^1 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\ 1 & \zeta_2^n & ... & \zeta_m^n \end{pmatrix}$$

daraus sollte nun folgen, dass Zeta die Darstellungsmatrix ist. Das wäre das Wesentliche der Beweisidee kurz zusammengefasst.

Kalidhor

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community