Zusammenhang σ(AA^t) \ {0} = σ(A^t A) \ {0} beweisen.

Question

Beweisen Sie für A ∈ R n×m den Zusammenhang σ(AA^t) \ {0} = σ(A^tA) \ {0} und geben Sie ein Beispiel, bei dem 0 ∈ σ(AA^t) und 0 ∈/ σ(A^tA) gelten.

σ(AA^t) - die Menge der Eigenwerte der Matrix AA^t 

A^t  - eine transponierte Matrix

Ein bisschen Hilfe wäre super!

Answer 1

Hi,
sei \( x \ne 0 \) ein Eigenvektor von \( A^tA \) und \( \lambda \ne 0 \) der dazugehörende Eigenwert. Definiere \( y = Ax \) dann gilt
$$ AA^ty = AA^tAx = \lambda Ax = \lambda y  $$ D.h. \( \lambda \) ist Eigenwert von \( AA^t \) und es gilt \( y \ne 0 \) weil ansonsten gilt
$$ A^tAx = A^ty = A^t 0 = 0 = \lambda x  $$ und daraus folgt \( \lambda = 0 \) was ein Widerspruch ist.